« Espaces vectoriels normés/Dimension finie » : différence entre les versions
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→Compacité et dimension finie : Dernières démonstrations |
rectif démo (l'image d'un complet par une application uniformément continue n'est pas toujours complet) |
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Ligne 74 :
{{Corollaire
| contenu=
Soient <math>(E,\|\cdot\|_E)</math> et <math>(F,\|\cdot\|_F)</math> deux e.v.n. réels et <math>f:E\to F</math> une application linéaire. Si <math>E</math> est de dimension finie, alors <math>f</math> est [[../Limites et continuité#Cas particulier des applications linéaires|(uniformément) continue]].
}}
{{Démonstration déroulante
Ligne 92 :
Tout e.v.n. réel de dimension finie est complet.
En particulier, tout sous-espace vectoriel de dimension finie d'un e.v.n. réel
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
Soit <math>(F,\|~\|_F)</math> un e.v.n. réel de dimension finie <math>n</math>, alors il existe un isomorphisme de <math>\R^n</math> dans <math>F</math> que l'on note <math>\phi</math>.
La proposition précédente nous assure que
Ainsi, <math>(F
}}
Ligne 140 :
:Or, <math>z+y\in F</math>, ce qui est contradictoire avec <math>r\leq \|x-y\|</math>. Ce qui prouve que <math>F=E</math> et donc que <math>E</math> est de dimension finie.
}}
{{Bas de page
| idfaculté = mathématiques
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