« Espaces vectoriels normés/Compacité » : différence entre les versions

m
mep
m (→‎Valeurs d'adhérence : tout métrique compact est complet)
m (mep)
 
}}
;Remarque :
:On définit de même des recouvrements fermés, [[Topologie générale/Complétude#Diamètre d'une partie|bornés]], etc.
{{Définition
| titre = Définition : [[Topologie générale/Compacité#Définitions|partie compacte]]
{{Proposition
|contenu =
*Toute partie compacte de ''E'' est fermée et bornée.
*Soit ''A'' une partie compacte de ''E''. Toute partie fermée de ''A'' est compacte.
*Toute union finie de parties compactes de ''E'' est compacte.
*Toute intersection d'une famille non vide de parties compactes de ''E'' est compacte.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=Voir [[Topologie générale/Compacité#Espaces métriques compacts]] (remarque suivant le lemme 1), [[Topologie générale/Compacité#Premières propriétés]] ouet [[Topologie générale/Exercices/Compacité#Exercice 1]].
}}
 
Alors, [[Topologie générale/Compacité#Compacité et applications continues|''f''(''A'') est une partie compacte]] de ''F''.
}}
 
== Parties [[Topologie générale/Complétude#Diamètre d'une partie|bornées]]==
{{Théorème|contenu=Toute partie compacte d'un e.v.n. [[Topologie générale/Compacité#Espaces métriques compacts|est (précompacte donc) bornée]].}}
 
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