Espaces vectoriels normés/Compacité

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Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.

Compacité
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Chapitre no 3
Leçon : Espaces vectoriels normés
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Espaces vectoriels normés/Compacité
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Dans toute la suite, E est un ℝ-espace vectoriel normé.

Définitions modifier

Remarque
On définit de même des recouvrements fermés, bornés, etc.


Premières propriétés modifier

Valeurs d'adhérence modifier


Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a :


Rappelons que si une suite converge vers   alors toutes ses sous-suites convergent vers  . Par conséquent (d'après la proposition ci-dessus),   est alors son unique valeur d'adhérence.

Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a en outre une caractérisation séquentielle de la compacité :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Exemples d'applications :


Compacité et applications continues modifier

Début d’un théorème
Fin du théorème