Espaces vectoriels normés/Compacité
Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.
Dans toute la suite, E est un ℝ-espace vectoriel normé.
Définitions
modifierOn dit que est un recouvrement de si .
Il est dit ouvert si tous les sont ouverts.
Un sous-recouvrement de est une sous-famille ( ) qui est encore un recouvrement de .
Il est dit fini si est fini.- Remarque
- On définit de même des recouvrements fermés, bornés, etc.
Premières propriétés
modifier- Soit A une partie compacte de E. Toute partie fermée de A est compacte.
- Toute union finie de parties compactes de E est compacte.
- Toute intersection d'une famille non vide de parties compactes de E est compacte.
Voir Topologie générale/Compacité#Espaces métriques compacts (remarque suivant le lemme 1), Topologie générale/Compacité#Premières propriétés et Topologie générale/Exercices/Compacité#Exercice 1.
Valeurs d'adhérence
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Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a :
Rappelons que si une suite converge vers alors toutes ses sous-suites convergent vers . Par conséquent (d'après la proposition ci-dessus), est alors son unique valeur d'adhérence.
Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a en outre une caractérisation séquentielle de la compacité :
Exemples d'applications :
- l'espace métrique A est complet ;
- A×B est une partie compacte de E×F.
Compacité et applications continues
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