Espaces vectoriels normés/Compacité

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Compacité
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Chapitre no 3
Leçon : Espaces vectoriels normés
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Espaces vectoriels normés/Compacité
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Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.

Dans toute la suite, E est un ℝ-espace vectoriel normé.

DéfinitionsModifier

Remarque
On définit de même des recouvrements fermés, bornés, etc.


Premières propriétésModifier

Valeurs d'adhérenceModifier


Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a :


Rappelons que si une suite converge vers   alors toutes ses sous-suites convergent vers  . Par conséquent (d'après la proposition ci-dessus),   est alors son unique valeur d'adhérence.

Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a en outre une caractérisation séquentielle de la compacité :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Exemples d'applications :


Compacité et applications continuesModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème