« Fonction logarithme/Croissances comparées » : différence entre les versions
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{{Wikipédia|Théorème des croissances comparées}}
{{Clr}}
== Comparaison entre ln(''x'') et ''x'' en +∞
On a vu que la fonction '''ln''' est strictement croissante sur <math>\left]0,+\infty\right[</math> et tend vers <math>+\infty</math> quand <math>x</math> tend vers <math>+\infty</math>, mais on va montrer qu’elle croît « lentement ».
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qui est une forme indéterminée <math>\frac{+\infty}{+\infty}</math>.
{{Théorème
| contenu=
En <math>+\infty</math>, ln(''x'') devient négligeable devant ''x''
<div style="text-align: center;"><math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}x=0</math>.</div>}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
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:<math>\forall x\ge1\quad0\le\frac{\ln x}x\le2\frac{\sqrt x-1}x</math>.
On conclut grâce au [[Limites d'une fonction/Théorèmes sur les limites#Théorème des gendarmes|théorème des gendarmes]].
Une autre méthode est d'utiliser la [[Fonction exponentielle/Croissances comparées|comparaison entre e{{exp|''y''}} et ''y'']] quand ''y'' = ln(''x'') → +∞.
}}
{{Remarque|contenu=
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}}
== Comparaison entre ln(''x'') et ''x'' en 0⁺
On en déduit, quand x tend vers 0 par valeurs supérieures (en <math>0^+</math>), une autre limite :
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qui est aussi une forme indéterminée <math>0\times(-\infty)</math>.
{{Théorème
Ligne 53 :
ln(''x'') tend vers <math>-\infty</math> en <math>0^+</math>, mais pas très vite :
<div style="text-align: center;"><math>\lim_{x\to0^+}(x\ln x)=0^-</math>.</div>
}}
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