Fonction logarithme/Croissances comparées
Comparaison de ln(x) et x au voisinage de +∞
modifierLa fonction ln est strictement croissante sur et tend vers quand tend vers , mais elle croît «plus lentement » qu'une fonction linéaire.
Pour formaliser ceci, on étudie la limite qui est la forme indéterminée : .
On sait que : .
On en déduit que : .
Par conséquent : .
On conclut grâce au théorème des gendarmes.
Une autre méthode est d'utiliser la comparaison de ey et y quand y = ln(x) → +∞.
Plus généralement, le quotient de par n’importe quel polynôme non constant, ou n’importe quelle puissance positive de , tend vers quand tend vers .
Faites ces exercices : Croissances comparées, exercice 3. |
Comparaison de ln(x) et x au voisinage de 0⁺
modifierQuand tend vers par valeurs supérieures (en ), une autre limite apparait et est aussi une forme indéterminée : .
En effet, quand , donc .
Plus généralement (et par le même changement de variable), le produit de par n'importe quelle puissance positive de tend vers quand tend vers .
Voir aussi
modifierFonction exponentielle/Croissances comparées