« Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité » : différence entre les versions
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→Exercice 12 : C^1 inutile |
m →Exercice 12 : moins bâclé |
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{{Solution|contenu=
#<math>F</math> est même de classe C{{exp|∞}} car ses deux composantes <math>F_1</math> et <math>F_2</math> le sont : <math>F_1=\cos\circ p_1-\sin\circ p_2</math> et <math>F_2=\sin\circ p_1-\cos\circ p_2</math>,
#La matrice jacobienne de <math>F</math> au point <math>(x,y)</math> est <math>\begin{pmatrix}-\sin x&-\cos y\\\cos x&\sin y\end{pmatrix}</math> donc <math>\|\mathrm dF_{(x,y)}(u,v)\|^2=\|(-u\sin x-v\cos y,u\cos x+v\sin y)\|^2=(-u\sin x-v\cos y)^2+(u\cos x+v\sin y)^2=u^2+v^2+2uv\sin(x+y)\le2(u^2+v^2)</math>.
#D'après l'inégalité des accroissements finis, <math>\frac12F</math> est <math>\frac\sqrt22</math>-lipschitzienne. On conclut grâce au [[Topologie générale/Complétude#Espace complet|théorème du point fixe de Picard-Banach]].
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