« Espaces vectoriels normés/Connexité » : différence entre les versions

*Pour montrer qu'une partie est un intervalle, il est possible de montrer qu'elle est connexe. Même si cela n'est pas forcément le plus courant, cela peut s'avérer utile.

*AÀ l'aide de la notion de connexité par arcs, on peut donner une démonstration plus simple de ce résultat, mais moins fondamentale.

*On voit encore apparaître le fait que si <math>A</math> est composée d'une union disjointe d'ouverts, on va pouvoir définir des fonctions dans <math>\{0;1\}</math> qui prennent des valeurs différentes sur chaque ouvert, et qui seront continuecontinues.

EtudionsÉtudions maintenant la propriété fondamentale reliant la connexité et la continuité. Le théorème suivant est l'un des premiers résultats montrant l'intérêt de la connexité : il nous dit que l'image d'une partie connexe par une application continue est connexe. Ceci permet de montrer assez facilement que certaines parties sont connexes. Il va également nous permettre d'obtenir sans efforts le théorème des valeurs intermédiaireintermédiaires.

:Soit <math>U\cup V</math> un recouvrement en deux ouverts disjoints de <math>f(A)</math>. La continuité de <math>f</math> implique immédiatemmentimmédiatement que <math>f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V)</math> est un recouvrement en deux ouverts dijointsdisjoints de <math>A</math> qui est connexe.

Nous allons maintenant nous intéresser à une notion un peu plus forte : la connexité par arcs. On introduit pour cela la notion d'arc, qui est une courbe reliant deux points pour faire simple. Une partie est alors connexe par arcs si, étant donné deux points dans cette partie, on peut trouver une courbe reliant ces deux points sans sortir de cette partie. Cette propriété est souvent plus simple à démontrer que la connexité, mais la connexité par arcs d'une partie implique sa connexité, la réciproque étant fausse mais les contre-exemples sont assez délicats à manipuler au premier abord. Intuitivement, si l'on peut toujours joindre deux points par une courbe, alors la partie considérée ne peut pas être en plusieurs morceaux.

Géométriquement, <math>A</math> est convexe si tous les segments que l'on peut constituer à partir de point de <math>A</math> sont inclus dans <math>A</math>. Les intéretsintérêts des parties convexes sont multiples, que ce soit en géométrie ou en optimisation par exemple, mais dans notre cadre elleelles nous servironsserviront à démontrer que des parties sont connexes/connexes par arcs.<br \>

Concrètement, l'idée ci-dessus se traduit dans la définition suivante :

Cependant, le résultat est très important pour démontrer qu'un espace est connexe par arcs, ; en effet la convexité est souvent plus facile à démontrer et à visualiser géométriquement quand on a l'habitude de ces notions. ELleElle constitue également notre principale application de la connexité ici.