« Fonctions d'une variable complexe/Formule intégrale de Cauchy » : différence entre les versions

Par conséquent, du fait de l'invariance par homotopie de l'intégrale curviligne, si <math>\gamma</math> est un chemin qui « entoure » (il est possible de donner un sens précis à ce terme) le point <math>z_0</math> dans <math>\Omega</math>, <math>\frac1{2\mathrm i\pi}\int_{\gamma} \frac{f(u)}{u-z_0} \mathrm du</math> donne la valeur de la fonction <math>f</math> en <math>z_0</math>.

 

Le théorème suivant donne des informations sur <math>f</math> et sur ses dérivées, la formule établie peut être intuitivement perçue comme une dérivation sous le signe intégrale de l’expression de f(z) obtenue avec la formule de Cauchy : <math>D(f(z))=\frac1{2\mathrm i\pi}D{\int_{\gamma} \frac{f(u)}{u-z} \mathrm du} =\frac1{2\mathrm i\pi}\int_{\gamma} D{\frac{f(u)}{u-z}} \mathrm du</math>. On peut montrer rigoureusement que dans notre cas la dérivation sous le signe intégrale est possible.

{{Théorème