« Topologie générale/Complétude » : différence entre les versions
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→Propriétés : complétude de ℝ et ℝ^n |
m →Propriétés : Donc ℚ n'est pas complet |
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*ℝ est complet (pour la distance usuelle ''d''(''x'', ''y'') = {{!}}''x – y''{{!}}).
*Tout sous-espace fermé d'un espace complet est complet.
*Tout sous-espace complet d'un espace métrique est fermé. (Donc ℚ, sous-espace métrique dense de ℝ, n'est pas complet car pas fermé dans ℝ.)
*Si (''E'', ''d'') un espace métrique complet alors pour tout ensemble ''X'', l'espace ''E{{exp|X}}'' des applications de ''X'' dans ''E'', muni de la [[Topologie générale/Espace métrique#Définition et exemples|distance uniforme]], est complet.
*Tout produit fini ou dénombrable d'espaces métriques complets (muni d'[[../Espace métrique#Produit d'espaces métriques|une distance appropriée]]) est complet ; par exemple, ℝ{{exp|''n''}} est complet pour la [[Espaces vectoriels normés/Définitions - Éléments de Topologie#Définitions|distance associée à la norme ∥ ∥{{ind|''p''}}]], pour tout ''p'' ∈ [1, +∞].
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