« Calcul différentiel/Exercices/Courbes et surfaces dans R3 » : différence entre les versions
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#<math>S_\lambda</math> est une sous-variété si en chacun de ses points, l'application <math>f:\R^3\to\R,\,x\mapsto x_1^2+x_2^2-x_3^2</math> est une [[w:Submersion (mathématiques)|submersion]], c.-à-d. si, pour tout <math>x\in S_\lambda</math>, le vecteur <math>\nabla f(x)=(2x_1,2x_2,-2x_3)</math> est non nul. Cela équivaut à <math>(0,0,0)\notin S_\lambda</math> donc à <math>\lambda\ne0</math>.<br><math>S_\lambda</math> est une [[w:Surface de révolution|surface de révolution]], d'axe <math>(Ox_3)</math>. C'est un [[Espace euclidien/Quadriques#Cône elliptique|cône]] si <math>\lambda=0</math> et un hyperboloïde sinon, [[Espace euclidien/Quadriques#Hyperboloïde à une nappe|à une nappe]] si <math>\lambda>0</math> et [[Espace euclidien/Quadriques#Hyperboloïde à deux nappes|deux nappes]] si <math>\lambda<0</math>.
#<math>T_xS_\lambda=\ker\mathrm df_x=\nabla f(x)^\bot=\ker B(x,\cdot)</math>.
}}
==Exercice 3==
Déterminer, parmi les sous-ensembles ci-dessous, lesquels sont des sous-variétés de <math>\R^n</math> :
#<math>S_0=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x^3+y^3+ z^3-3xyz=1\}</math> ;
#<math>C_0=\{(x,y)\in\R^2\mid xy=0\}</math> ;
#<math>C_1=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x^2+y^2+z^2 =1\;\text{et}\; x^2+y^2-x=0\}</math> ;
#<math>C_2=\{(x,y)\in\R^2\mid y^2=x^3\}</math> ;
#<math>S_1=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x^2+y^2=\alpha z^2\}</math> (<math>\alpha>0</math>).
{{Solution|contenu=
#La surface <math>S_0</math> est une sous-variété de <math>\R^3</math> car en chacun de ses points, l'application <math>f:\R^3\to\R,\,(x,y,z)\mapsto x^3+y^3+ z^3-3xyz</math> est une submersion, c.-à-d. que pour tout <math>(x,y,z)\in S_0</math>, le vecteur <math>\nabla f(x,y,z)=3(x^2-yz,y^2-xz,z^2-xy)</math> est non nul. En effet, les <math>(x,y,z)</math> pour lesquels ce vecteur est nul vérifient : <math>f(x,y,z)=0</math>.
#La courbe <math>C_0</math> n'est pas une sous-variété (même topologique) de dimension 1 (de <math>\R^2</math>) car <math>O</math> est un point double : au voisinage de ce point, <math>C_0</math> privée de <math>O</math> a 4 composantes connexes, au lieu de 2.
#La courbe <math>C_1</math> (la « [[w:fenêtre de Viviani|fenêtre de Viviani]] ») a pour paramétrage <math>M(\theta)=(\cos^2\theta,\cos\theta\sin\theta,\sin\theta)</math>. Le point double <math>M(0)=(1,0,0)=M(\pi)</math> fait que — comme <math>C_0</math> — <math>C_1</math> n'est pas une sous-variété, même topologique.
#La courbe <math>C_2=\{(\sqrt[3]{y^2},y)\mid y\in\R\}</math> est une sous-variété topologique (localement homéomorphe à <math>\R\times\{0\}</math>) de <math>\R^2</math> mais pas une sous-variété différentiable, car <math>O=(0,0)</math> est un point de rebroussement donc le cône tangent (l'ensemble des vecteurs de la forme <math>\lim \frac{\overrightarrow{OM_n}}{t_n}</math> avec <math>M_n\to O</math> et <math>t_n\to0^+</math>, ou encore, de la forme <math>\gamma'_d(0)=\lim_{t\to0^+}\frac{\gamma(t)-\gamma(0)}t</math> pour <math>\gamma:\left[0,\varepsilon\right[\to C_2</math> telle que <math>\gamma(0)=O</math>) est une demi-droite et non une droite.
#Le cône <math>S_1</math> n'est pas une sous-variété (même topologique) de dimension 2 (de <math>\R^3</math>) car son sommet <math>O</math> est un point double : au voisinage de <math>O</math>, <math>S_1</math> privé de <math>O</math> a 2 composantes connexes, au lieu de 1.
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