Calcul différentiel/Exercices/Courbes et surfaces dans R3

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Courbes et surfaces dans R3
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Exercices no8
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Sous-variétés de ℝn

Exercices de niveau 15.

Exo préc. : Courbes paramétrées
Exo suiv. :Continuité et différentiabilité de fonctions de ℝp dans ℝq
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Calcul différentiel/Exercices/Courbes et surfaces dans R3
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Exercice 1Modifier

Calculer l'équation du plan tangent au cône à base elliptique   d'équation  , en un point arbitraire   de  .

  1. Déterminer les points de la surface   d'équation   dont le plan tangent contient la droite d'équations  .
  2. En tout point   tel que  , déterminer la position de la surface par rapport à son plan tangent.

Exercice 2Modifier

Pour  , soit  .

  1. Déterminer les réels   pour lesquels   est une sous-variété de  . Dessiner   en fonction de  .
  2. Pour  , soit  . Soit  , exprimer   à l'aide de  .

Exercice 3Modifier

Déterminer, parmi les sous-ensembles ci-dessous, lesquels sont des sous-variétés de   :

  1.   ;
  2.   ;
  3.   ;
  4.   ;
  5.   ( ).

Exercice 4Modifier

On considère la sphère unité   de   et un cylindre  , d'axe vertical et de rayon  . L'intersection de   et   définit-elle toujours une courbe lisse ? Retrouver cette observation par le calcul.

Exercice 5Modifier

  1. Montrer que l'équation   définit une surface  . Donner l'équation du plan tangent de cette surface à l'origine.
  2. Montrer que le système d'équations   définit au voisinage de l'origine une courbe. Déterminer la droite tangente à cette courbe à l'origine.
  3. Montrer que le système d'équations   définit une courbe lisse   de   et déterminer la droite tangente   à   en  .

Exercice 6Modifier

On appelle groupe orthogonal l'ensemble  .

Le but est de montrer que   est une sous-variété de  .

Soit   l'espace vectoriel des matrices symétriques réelles d'ordre   et   définie par  .

  1. Montrer que  .
  2. Soit  ,   et  . Montrer que  . En déduire que   est une sous-variété de   de dimension  , dont l'espace tangent en   est  .

Exercice 7Modifier

  1. Montrer que l'ensemble   est une sphère, dont on déterminera le centre et le rayon.
  2. Déterminer l'équation du plan tangent à   en un point  .
  3. Expliciter les deux cas particuliers   et  

Exercice 8Modifier

Trouver l'équation cartésienne et paramétrique du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point   donné :

  1.   ;
  2.   ;
  3.  .

Exercice 9Modifier

  1. Sur le paraboloïde elliptique  , trouver les points où le plan tangent est parallèle au plan  .
  2. Même question avec le plan  .

Soit   la surface paramétrée par  , pour  .

Trouver l'ensemble des points de   où le plan tangent est vertical.

Exercice 10Modifier

On pose  .

  1. Calculer le gradient   et la différentielle   de la fonction  .
  2. Calculer l'équation de la tangente à la courbe d'équation  , aux points  ,   et  .

Exercice 11Modifier

Soit   la surface d'équation  .

  1. Déterminer le plan tangent à   à l'origine, et la position de la surface par rapport à ce plan.
  2. Mêmes questions au point  .