Calcul différentiel/Exercices/Courbes et surfaces dans R3

Exercice 1

Calculer l'équation du plan tangent au cône à base elliptique $\Sigma$ d'équation $xy=z^{2}$, en un point arbitraire $M_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})\neq (0,0,0)$ de $\Sigma$.

Solution

$\Sigma$ a pour équation $f=0$ où $f$ est définie par $f\left(x,y,z\right)=xy-z^{2}$.

Le plan tangent $T_{M_{0}}\Sigma$ est le plan contenant $M_{0}$ et normal au vecteur gradient $\nabla f\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)=\left(y_{0},x_{0},-2z_{0}\right)$ (non nul par hypothèse).

Il a donc pour équation $(x-x_{0})y_{0}+(y-y_{0})x_{0}-2(z-z_{0})z_{0}=0$, soit $y_{0}x+x_{0}y-2z_{0}z=0$.

 

1. Déterminer les points de la surface $S$ d'équation $xy=z^{3}$ dont le plan tangent contient la droite d'équations $x=2,\;y-3z+3=0$.
2. En tout point $M_{0}=\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\in S$ tel que $x_{0}y_{0}\neq 0$, déterminer la position de la surface par rapport à son plan tangent.

Solution

$S$ a pour équation $f=0$ où $f$ est définie par $f\left(x,y,z\right)=xy-z^{3}$.

1. Pour tout point $M_{0}=\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\in S$, le plan tangent $T_{M_{0}}S$ est le plan contenant $M_{0}$ et normal au vecteur gradient $\nabla f\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)=\left(y_{0},x_{0},-3z_{0}^{2}\right)$ (sauf au point singulier $O=\left(0,0,0\right)$, en lequel il n'y a pas de plan tangent). Il a donc pour équation $y_{0}\left(x-x_{0}\right)+x_{0}\left(y-y_{0}\right)-3z_{0}^{2}\left(z-z_{0}\right)=0$, qui se réécrit $y_{0}x+x_{0}y-3z_{0}^{2}z=2x_{0}y_{0}-3z_{0}^{3}$. Donc
   $T_{M_{0}}S=\{\left(x,y,z\right)\in \mathbb {R} ^{3}\mid y_{0}x+x_{0}y-3z_{0}^{2}z=-z_{0}^{3}\}$.
   La droite $D$ peut être paramétrée par exemple par $z$ :
   $D=\{\left(2,3z-3,z\right)\mid z\in \mathbb {R} \}$.
   Par conséquent,
   ${\begin{aligned}D\subset T_{M_{0}}S&\Leftrightarrow \forall z\in \mathbb {R} \quad 2y_{0}+x_{0}\left(3z-3\right)-3z_{0}^{2}z=-z_{0}^{3}\\&\Leftrightarrow \forall z\in \mathbb {R} \quad z\left(3x_{0}-3z_{0}^{2}\right)+\left(2y_{0}-3x_{0}+z_{0}^{3}\right)=0\\&\Leftrightarrow x_{0}=z_{0}^{2}\quad {\text{et}}\quad 2y_{0}-3x_{0}+z_{0}^{3}=0\\&\Leftrightarrow x_{0}=z_{0}^{2}{\text{ et }}y_{0}=z_{0}^{2}{\frac {3-z_{0}}{2}}.\end{aligned}}$
   On a alors $0=x_{0}y_{0}-z_{0}^{3}=z_{0}^{4}{\frac {3-z_{0}}{2}}-z_{0}^{3}={\frac {z_{0}^{3}}{2}}\left(3z_{0}-z_{0}^{2}-2\right)=-{\frac {z_{0}^{3}}{2}}\left(z_{0}-1\right)\left(z_{0}-2\right)$ donc (puisque $M_{0}\neq O$)

   $M_{0}=\left(1,1,1\right)\quad {\text{ou}}\quad \left(4,2,2\right)$.

2. Calculons le développement limité à l'ordre $2$ de $z={\sqrt[{3}]{xy}}$ quand $x=x_{0}+u$ et $y=y_{0}+v$ avec $u,v\to 0$. Soit $z_{0}={\sqrt[{3}]{x_{0}y_{0}}}$.
   ${\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{\left(x_{0}+u\right)\left(y_{0}+v\right)}}&=z_{0}\left(1+{\frac {u}{x_{0}}}\right)^{1/3}\left(1+{\frac {v}{y_{0}}}\right)^{1/3}\\&=z_{0}\left(1+{\frac {u}{3x_{0}}}-{\frac {u^{2}}{9x_{0}^{2}}}\right)\left(1+{\frac {v}{3y_{0}}}-{\frac {v^{2}}{9y_{0}^{2}}}\right)+o\left(u^{2}+v^{2}\right)\\&=z_{0}+{\frac {z_{0}}{3x_{0}}}u+{\frac {z_{0}}{3y_{0}}}v+{\frac {z_{0}}{9}}\left(-{\frac {u^{2}}{x_{0}^{2}}}+{\frac {uv}{x_{0}y_{0}}}-{\frac {v^{2}}{y_{0}^{2}}}\right)+o\left(u^{2}+v^{2}\right).\end{aligned}}$
   On retrouve à l'ordre 1 l'équation du plan tangent ($z=z_{0}+{\frac {z_{0}}{3x_{0}}}u+{\frac {z_{0}}{3y_{0}}}v=z_{0}+{\frac {y_{0}u+x_{0}v}{3z_{0}^{2}}}$), et le terme d'ordre 2 (la différence entre la hauteur d'un point de la surface et celle d'un point du plan sur la même verticale) est du signe de $-z_{0}$, donc la surface est en dessous de son plan tangent si $x_{0}y_{0}>0$ et au-dessus si $x_{0}y_{0}<0$.

 

Exercice 2

Pour $\lambda \in \mathbb {R}$, soit $S_{\lambda }=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}\mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=\lambda \}$.

1. Déterminer les réels $\lambda$ pour lesquels $S_{\lambda }$ est une sous-variété de $\mathbb {R} ^{3}$. Dessiner $S_{\lambda }$ en fonction de $\lambda$.
2. Pour $x,y\in \mathbb {R} ^{3}$, soit $B(x,y)=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}$. Soit $x\in S_{\lambda }$, exprimer $\mathrm {T} _{x}S_{\lambda }$ à l'aide de $B$.

Solution

Hyperboloïde à une nappe ($\lambda >0$).

Hyperboloïde à deux nappes ($\lambda >0$).

1. $S_{\lambda }$ est une sous-variété si en chacun de ses points, l'application $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,\,x\mapsto x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}$ est une submersion, c.-à-d. si, pour tout $x\in S_{\lambda }$, le vecteur $\nabla f(x)=(2x_{1},2x_{2},-2x_{3})$ est non nul. Cela équivaut à $(0,0,0)\notin S_{\lambda }$ donc à $\lambda \neq 0$.
   $S_{\lambda }$ est une surface de révolution, d'axe $(Ox_{3})$. C'est un cône si $\lambda =0$ et un hyperboloïde sinon, à une nappe si $\lambda >0$ et deux nappes si $\lambda <0$.
2. $T_{x}S_{\lambda }=\ker \mathrm {d} f_{x}=\nabla f(x)^{\bot }=\ker B(x,\cdot )$.

 

Exercice 3

Déterminer, parmi les sous-ensembles ci-dessous, lesquels sont des sous-variétés de $\mathbb {R} ^{n}$ :

1. $S_{0}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=1\}$ ;
2. $C_{0}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid xy=0\}$ ;
3. $C_{1}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\;{\text{et}}\;x^{2}+y^{2}-x=0\}$ ;
4. $C_{2}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y^{2}=x^{3}\}$ ;
5. $S_{1}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}=\alpha z^{2}\}$ ($\alpha >0$).

Solution

1. La surface $S_{0}$ est une sous-variété de $\mathbb {R} ^{3}$ car en chacun de ses points, l'application $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\mapsto x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$ est une submersion, c.-à-d. que pour tout $(x,y,z)\in S_{0}$, le vecteur $\nabla f(x,y,z)=3(x^{2}-yz,y^{2}-xz,z^{2}-xy)$ est non nul. En effet, les $(x,y,z)$ pour lesquels ce vecteur est nul vérifient : $f(x,y,z)=0$.
2. La courbe $C_{0}$ n'est pas une sous-variété (même topologique) de dimension 1 (de $\mathbb {R} ^{2}$) car $O$ est un point double : au voisinage de ce point, $C_{0}$ privée de $O$ a 4 composantes connexes, au lieu de 2.
3. La courbe $C_{1}$ (la « fenêtre de Viviani ») a pour paramétrage $M(\theta )=(\cos ^{2}\theta ,\cos \theta \sin \theta ,\sin \theta )$. Le point double $M(0)=(1,0,0)=M(\pi )$ fait que — comme $C_{0}$ — $C_{1}$ n'est pas une sous-variété, même topologique.
4. La courbe $C_{2}=\{({\sqrt[{3}]{y^{2}}},y)\mid y\in \mathbb {R} \}$ est une sous-variété topologique (localement homéomorphe à $\mathbb {R} \times \{0\}$) de $\mathbb {R} ^{2}$ mais pas une sous-variété différentiable, car $O=(0,0)$ est un point de rebroussement donc le cône tangent (l'ensemble des vecteurs de la forme $\lim {\frac {\overrightarrow {OM_{n}}}{t_{n}}}$ avec $M_{n}\to O$ et $t_{n}\to 0^{+}$, ou encore, de la forme $\gamma '_{d}(0)=\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {\gamma (t)-\gamma (0)}{t}}$ pour $\gamma :\left[0,\varepsilon \right[\to C_{2}$ telle que $\gamma (0)=O$) est une demi-droite et non une droite.
5. Le cône $S_{1}$ n'est pas une sous-variété (même topologique) de dimension 2 (de $\mathbb {R} ^{3}$) car son sommet $O$ est un point double : au voisinage de $O$, $S_{1}$ privé de $O$ a 2 composantes connexes, au lieu de 1.

 

Exercice 4

On considère la sphère unité $S$ de $\mathbb {R} ^{3}$ et un cylindre $C$, d'axe vertical et de rayon $r>0$. L'intersection de $S$ et $C$ définit-elle toujours une courbe lisse ? Retrouver cette observation par le calcul.

Solution

Sans perte de généralité, l'axe du cylindre passe par un point de la forme $(a,0,0)$ avec $a\geq 0$.

La courbe $S\cap C$ est alors le lieu d'annulation de $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},\ (x,y,z)\mapsto (x^{2}+y^{2}+z^{2}-1,(x-a)^{2}+y^{2}-r^{2})$.

La matrice $\mathrm {J} f(x,y,z)=2{\begin{pmatrix}x&y&z\\x-a&y&0\end{pmatrix}}$ est de rang 2 sauf si $yz=(x-a)z=ay=0$.

• Si $a=0$, cela n'est possible (sur $S\cap C$) que si $r=1$ mais dans ce cas, $S\cap C$ est quand même une courbe lisse (le cercle équatorial de $S$).
• Si $a\neq 0$, cela n'est possible (sur $S\cap C$) que si $r\in \{1+a,1-a,a-1\}$.
  • Si $r=a+1$, la sphère est tangente intérieurement au cylindre.
  • Si $r=a-1$, c'est l'inverse.
  • Si $r=1-a$, la courbe $S\cap C$ est une hippopède (en forme de 8) donc elle a un point double et n'est pas une variété (pour $a=r={\frac {1}{2}}$, on retrouve la fenêtre de Viviani de l'exercice précédent).

 

Exercice 5

1. Montrer que l'équation $xy+xz+yz+2x+2y-z=0$ définit une surface $S$. Donner l'équation du plan tangent de cette surface à l'origine.
2. Montrer que le système d'équations $4xy+2xz+4y-z=xy+xz+yz+2x+2y-z=0$ définit au voisinage de l'origine une courbe. Déterminer la droite tangente à cette courbe à l'origine.
3. Montrer que le système d'équations $x^{2}+y^{2}-z^{2}=2x+y+1=0$ définit une courbe lisse $C$ de $\mathbb {R} ^{3}$ et déterminer la droite tangente $T_{a}C$ à $C$ en $a=(-1,1,{\sqrt {2}})$.

Solution

1. Posons $f:(x,y,z)\mapsto xy+xz+yz+2x+2y-z$. Alors, $\mathrm {J} f=(y+z+2,x+z+2,x+y-1)$ est nulle seulement en $(1/2,1/2,-5/2)$, point en lequel $f\neq 0$. Donc $S$ est une sous-variété (de dimension 2) de $\mathbb {R} ^{3}$. Son plan tangent en $(0,0,0)$ est $\ker(\mathrm {D} f_{(0,0,0)})$, d'équation $2x+2y-z=0$.
2. Posons $g:(x,y,z)\mapsto (4xy+2xz+4y-z,xy+xz+yz+2x+2y-z)$. Alors, $\mathrm {J} g(0,0,0)={\begin{pmatrix}0&4&-1\\2&2&-1\end{pmatrix}}$ est de rang 2 et son noyau est la droite de vecteur directeur $(1,1,4)$.
3. L'application $F:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},\;(x,y,z)\mapsto (x^{2}+y^{2}-z^{2},2x+y+1)$ est C^∞. Soit $(x,y,z)\in C$. Alors, $z\neq 0$ et $J_{(x,y,z)}F=\left({\begin{smallmatrix}2x&2y&-2z\\2&1&0\end{smallmatrix}}\right)$ est de rang 2 (en considérant le mineur formé des 2 dernières colonnes). Donc $F$ est une submersion en tout point de $C$, ce qui prouve que $C$ est une sous-variété lisse de $\mathbb {R} ^{3}$, de dimension $3-2=1$. $F(a)=0$ donc $a\in C$. La droite $T_{a}C=\ker \mathrm {D} _{a}F$ est l'ensemble des triplets $(\alpha ,\beta ,\gamma )\in \mathbb {R} ^{3}$ tels que $-2\alpha +2\beta -2{\sqrt {2}}\gamma =2\alpha +\beta =0$.

 

Exercice 6

On appelle groupe orthogonal l'ensemble $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )=\{M\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )\mid {}^{t}\!MM=\mathrm {I} _{n}\}$.

Le but est de montrer que $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )$ est une sous-variété de $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )$.

Soit $E$ l'espace vectoriel des matrices symétriques réelles d'ordre $n$ et $f:\mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )\to E$ définie par $f(A)={}^{t}\!AA$.

1. Montrer que $\mathrm {D} _{A}f(H)={}^{t}\!AH+{}^{t}\!HA$.
2. Soit $A\in \mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )$, $S\in E$ et $H={\frac {1}{2}}AS$. Montrer que $\mathrm {D} _{A}f(H)=S$. En déduire que $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )$ est une sous-variété de $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )$ de dimension $n(n-1)/2$, dont l'espace tangent en $\mathrm {I} _{n}$ est $\{X\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )\mid {}^{t}\!X=-X\}$.

Solution

1. $f$ est la composée de l'application produit $B:\mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )\times \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )$ (bilinéaire) et de l'application $({}^{t}\!\cdot ,\mathrm {id} )$ (linéaire) donc (cf. chap. 2) $\mathrm {D} _{A}f(H)=\mathrm {D} B_{({}^{t}\!A,A)}({}^{t}\!H,H)=B({}^{t}\!A,H)+B({}^{t}\!H,A)$.
2. $\mathrm {D} _{A}f(H)={}^{t}\!AH+{}^{t}\!HA={}^{t}\!A{\frac {1}{2}}AS+{}^{t}\!({\frac {1}{2}}AS)A={\frac {1}{2}}{}^{t}\!AAS+{\frac {1}{2}}{}^{t}\!S{}^{t}\!AA={\frac {1}{2}}S+{\frac {1}{2}}{}^{t}\!S=S$. On en déduit que $\mathrm {D} _{A}f$ est surjective donc $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )=f^{-1}(\{\mathrm {I} _{n}\})$ est une sous-variété de $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )$, de dimension $\dim \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )-\dim E=n^{2}-n(n+1)/2=n(n-1)/2$. L'espace tangent en $\mathrm {I} _{n}$ est $\ker(\mathrm {D} _{\mathrm {I} _{n}}f)=\{H\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )\mid {}^{t}\!H+H=0\}$.

 

Exercice 7

1. Montrer que l'ensemble $S:=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=2(x+y+z-1)\}$ est une sphère, dont on déterminera le centre et le rayon.
2. Déterminer l'équation du plan tangent à $S$ en un point $(x_{0},y_{0},z_{0})\in S$.
3. Expliciter les deux cas particuliers $(x_{0},y_{0},z_{0})=(1,1,0)$ et $(x_{0},y_{0},z_{0})=(1,1,2)$

Solution

1. $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2(x+y+z-1)\Longleftrightarrow (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=1^{2}$
   donc $S$ est la sphère de centre $(1,1,1)$ et de rayon $1$.
2. En un point $M_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$, un vecteur normal à cette surface d'équation $f(x,y,z)=0$ est $\operatorname {grad} f(M_{0})=2(x_{0}-1,y_{0}-1,z_{0}-1)$ (c'était d'ailleurs évident géométriquement : pour une sphère, le vecteur radial est normal) donc le plan tangent a pour équation $\langle {\overrightarrow {\nabla f}}(M_{0}),{\overrightarrow {M_{0}M}}\rangle =0$, c'est-à-dire (en simplifiant par $2$)

   $(x_{0}-1)(x-x_{0})+(y_{0}-1)(y-y_{0})+(z_{0}-1)(z-z_{0})=0$
   (accessoirement, compte tenu du fait que $(x_{0},y_{0},z_{0})\in S$, on peut remarquer que cette équation de plan équivaut à $x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=2(x_{0}+y_{0}+z_{0}-1)$).

3. On vérifie que $f$ est nulle aux deux points $M_{0}=(1,1,0)$ et $M_{1}=(1,1,2)$. Ils appartiennent donc bien à $S$ et d'après la question précédente, l'équation du plan tangent à $S$ :
   • en $M_{0}$ est $(1-1)(x-1)+(1-1)(y-1)+(0-1)(z-0)=0$, qui se simplifie en $z=0$ ;
   • en $M_{1}$ est $(1-1)(x-1)+(1-1)(y-1)+(2-1)(z-2)=0$, qui se simplifie en $z=2$.

   On peut remarquer que ces deux plans sont parallèles, ce qui n'a rien de surprenant puisque ces deux points de la sphère sont diamétralement opposés.

 

Exercice 8

Trouver l'équation cartésienne et paramétrique du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point $(x_{0},y_{0},z_{0})$ donné :

1. $z={\sqrt {19-x^{2}-y^{2}}},\quad (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,3,3)$ ;
2. $z=\sin(\pi xy)\exp(2x^{2}y-1),\quad (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,1/2,1)$ ;
3. $z=8-x^{2}-y^{2},\quad (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,2,3)$.

Solution

http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00063.pdf exercice 1 [002628] pour les questions 1 et 2.

1. Le plan tangent, en un point $(x_{0},y_{0},z_{0})$, à la sphère d'équation $x^{2}+y^{2}+z^{2}=19$, a pour vecteur normal $2(x_{0},y_{0},z_{0})$ donc pour équation
   • cartésienne : $x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=19$,
     soit, si $(x_{0},y_{0},z_{0})=(1,3,3)$ : $x+3y+3z=19$ ;
   • paramétrique : par exemple, $x=x_{0}+sz_{0},\;y=y_{0}+tz_{0},\;z=z_{0}-sx_{0}-ty_{0}$,
     soit, si $(x_{0},y_{0},z_{0})=(1,3,3)$ : $x=1+3s,\;y=3+3t,\;z=3-s-3t$.
2. Le plan tangent, en un point $(x_{0},y_{0},z_{0})$, à la surface d'équation $z=\sin(\pi xy)\exp(2x^{2}y-1)$, est dirigé par les deux vecteurs $\left(1,0,(y_{0}\pi \cos(\pi x_{0}y_{0})+4x_{0}y_{0})\exp(2x_{0}^{2}y_{0}-1)\right)$ et $\left(0,1,(x_{0}\pi \cos(\pi x_{0}y_{0})+2x_{0}^{2})\exp(2x_{0}^{2}y_{0}-1)\right)$ donc a pour équation
   • cartésienne : $z=z_{0}+\exp(2x_{0}^{2}y_{0}-1)[(x-x_{0})(y_{0}\pi \cos(\pi x_{0}y_{0})+4x_{0}y_{0})+(y-y_{0})(x_{0}\pi \cos(\pi x_{0}y_{0})+2x_{0}^{2})]$,
     soit, si $(x_{0},y_{0},z_{0})=(1,1/2,1)$ : $z=2(x+y-1)$ ;
   • paramétrique : par exemple, $x=x_{0}+s,\;y=y_{0}+t,\;z=z_{0}+s(y_{0}\pi \cos(\pi x_{0}y_{0})+4x_{0}y_{0})\exp(2x_{0}^{2}y_{0}-1)+t(x_{0}\pi \cos(\pi x_{0}y_{0})+2x_{0}^{2})\exp(2x_{0}^{2}y_{0}-1)$,
     soit, si $(x_{0},y_{0},z_{0})=(1,1/2,1)$ : $x=1+s,\;y=1/2+t,\;z=1+2s+2t$.
3. Le plan tangent, en un point $(x_{0},y_{0},z_{0})$, à la surface d'équation $z=8-x^{2}-y^{2}$, est dirigé par les deux vecteurs $\left(1,0,-2x_{0}\right)$ et $\left(0,1,-2y_{0}\right)$ donc a pour équation
   • cartésienne : $2x_{0}x+2y_{0}y+z=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+8$,
     soit, si $(x_{0},y_{0},z_{0})=(1,2,3)$ : $2x+4y+z=13$ ;
   • paramétrique : par exemple, $x=x_{0}+s,\;y=y_{0}+t,\;z=z_{0}-2x_{0}s-2y_{0}t$,
     soit, si $(x_{0},y_{0},z_{0})=(1,2,3)$ : $x=1+s,\;y=2+t,\;z=3-2s-4t$.

 

Exercice 9

1. Sur le paraboloïde elliptique $z=4x^{2}+y^{2}$, trouver les points où le plan tangent est parallèle au plan $x+2y+z=6$.
2. Même question avec le plan $3x+5y-2z=3$.

Solution

http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00063.pdf exercice 3 [002630]

Le plan tangent au paraboloïde en un point $(x,y,z)$ (avec $z=4x^{2}+y^{2}$) a pour vecteur normal $(8x,2y,-1)$. Ce vecteur est colinéaire :

1. au vecteur $(1,2,1)$ si et seulement si $x={\frac {1}{8}}$ et $y=-1$ (donc $z={\frac {17}{16}}$) ;
2. au vecteur $(3,5,-2)$ si et seulement si $x={\frac {3}{16}}$ et $y={\frac {5}{4}}$ (donc $z={\frac {109}{64}}$).

 

Soit $S$ la surface paramétrée par $x=\left(1+v^{2}\right)\cos u,\;y=\left(1+v^{2}\right)\sin u,\;z=v$, pour $(u,v)\in \left[0,2\pi \right[\times \left]-1,1\right[$.

Trouver l'ensemble des points de $S$ où le plan tangent est vertical.

Solution

$S$ a pour équation $x^{2}+y^{2}=\left(1+z^{2}\right)^{2}$ donc pour vecteur normal, en un point $\left(x,y,z\right)\in S$ : $\left(x,y,-2z\left(1+z^{2}\right)\right)$. Ce vecteur est horizontal si et seulement si $z=0$.

 

Exercice 10

On pose $f(x,y)=x^{3}+y^{3}-x^{2}-y^{2}$.

1. Calculer le gradient $\operatorname {grad} (f)$ et la différentielle $\mathrm {D} f$ de la fonction $f$.
2. Calculer l'équation de la tangente à la courbe d'équation $f(x,y)=0$, aux points $(1,1)$, $(0,1)$ et $(1,0)$.

Solution

1. $\operatorname {grad} (f)(x,y)=(3x^{2}-2x,3y^{2}-2y)$ et $\mathrm {D} f_{(x,y)}(h,k)=(3x^{2}-2x)h+(3y^{2}-2y)k$.
2. La tangente en un point $(a,b)$ est orthogonale au vecteur $\operatorname {grad} (f)(a,b)$ donc elle a pour équation (si ce vecteur est non nul) : $(x-a)(3a^{2}-2a)+(y-b)(3b^{2}-2b)=0$, ce qui s'écrit :
   • si $(a,b)=(1,1)$ : $x+y=2$ ;
   • si $(a,b)=(0,1)$ : $y=1$ ;
   • si $(a,b)=(1,0)$ : $x=1$.

 

Exercice 11

Soit $S$ la surface d'équation $z=x+y^{2}$.

1. Déterminer le plan tangent à $S$ à l'origine, et la position de la surface par rapport à ce plan.
2. Mêmes questions au point $(1,1,2)$.

Solution

1. Ce plan $P$ a pour équation $z=x$, et le point courant $M(x,y)=(x,y,x+y^{2})\in S$ est au-dessus du point $(x,y,x)\in P$ situé sur la même verticale que $M(x,y)$.
2. Ce plan $Q$ a pour équation $z-2=x-1+2(y-1)$, soit $z=x+2y-1$, et le point courant $M(x,y)=(x,y,x+y^{2})\in S$ est au-dessus du point $(x,y,x+2y-1)\in Q$ situé sur la même verticale que $M(x,y)$, car $y^{2}-2y+1=(y-1)\geq 0$.