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« Mathématiques en MP/Exercices/Intégrales dépendant d'un paramètre » : différence entre les versions

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m →‎Exercice 2-5 : précision
m Robot : Remplacement de texte automatisé (-Intégration (mathématiques) +Intégration de Riemann)
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== Rappels de cours ==
{{Wikipédia|Intégrale paramétrique}}
Dans les trois théorèmes suivants, toutes les fonctions seront supposées (outre les hypothèses spécifiques à chacun) [[Intégration (mathématiques)de Riemann/Intégrale de Riemann#Intégrale d'une fonction continue par morceaux|continues par morceaux]], pour éviter de faire appel à la notion de [[w:Fonction mesurable|mesurabilité]], plus générale mais peu utile dans les cas concrets. <math>J</math> désignera un intervalle réel et <math>f</math> une application définie sur <math>J\times\left[a,b\right[</math> et à valeurs dans <math>\R</math> ou <math>\Complex</math> (<math>b</math> peut être infini). On définit
:<math>F(x):=\int_a^bf(x,t)\,\mathrm dt</math>
(pour les <math>x\in J</math> pour lesquels cette intégrale converge).
Ligne 62 :
 
== Exercice 2-3 ==
On sait bien que [[Intégration (mathématiques)de Riemann/Devoir/Intégrale de Dirichlet|l'intégrale de Dirichlet <math>I:=\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}t\,\mathrm dt</math> converge]], mais [[Série numérique/Exercices/Comparaison série-intégrale#Exercice 1|non absolument]].
 
Le but de cet exercice est de retrouver sa valeur en appliquant le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre à la fonction
Ligne 90 :
On considère la fonction Gamma d'[[Histoire des mathématiques/Quelques mathématiciens célèbres|Euler]], définie par
<div style="text-align: center;"><math>\Gamma(x):=\int_0^{+\infty}t^{x-1}\operatorname e^{-t}\,\mathrm dt</math>.</div>
On sait déjà (cf. [[Intégration (mathématiques)de Riemann/Devoir/Fonction Gamma et formule de Stirling|devoir sur la fonction Gamma et la formule de Stirling]]) que :
*son domaine de définition est <math>\R_+^*</math> ;
*<math>\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)</math> (pour <math>x>0</math>) ;
Ligne 99 :
#Montrer que <math>\Gamma'</math> s'annule entre 1 et 2.
#Déterminer <math>\lim_{x\to0^+}x\,\Gamma(x)</math>, <math>\lim_{0^+}\Gamma</math>, <math>\lim_{+\infty}\Gamma</math>, <math>\lim_{x\to+\infty}\Gamma(x)/x</math> et donner l'allure du graphe de <math>\Gamma</math>.
#Calculer <math>\Gamma(1/2)</math>, connaissant la [[Intégration (mathématiques)de Riemann/Devoir/Intégrale de Gauss|valeur de l'intégrale de Gauss]] (<math>\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-s^2}\,\mathrm ds=\frac\sqrt{\pi}2</math>).
{{Solution|contenu=
[[File:Gamma_function.png|thumb]]
Ligne 151 :
#Montrer que <math>F</math> et <math>G</math> sont de classe C{{exp|1}} et calculer leurs dérivées.
#En déduire que <math>G+F^2</math> est constante. Que vaut cette constante ?
#Déterminer la limite en <math>+\infty</math> de <math>G</math> puis de <math>F</math>, et retrouver ainsi la valeur de l'[[Intégration (mathématiques)de Riemann/Devoir/Intégrale de Gauss|intégrale de Gauss]], <math>\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm e^{-t^2}\,\mathrm dt</math>.
{{Solution|contenu=
#
#*D'après le [[Intégration (mathématiques)de Riemann/Intégrale et primitives|théorème fondamental de l'analyse]], <math>F</math> est de classe C{{exp|1}} et <math>\forall x\in\R\quad F'(x)=\mathrm e^{-x^2}</math>.
#*D'après le théorème adhoc sur les intégrales à paramètre, <math>G</math> est de classe C{{exp|1}} et <math>\forall x\in\R\quad G'(x)=-2x\int_0^1\mathrm e^{-x^2(1+t^2)}\,\mathrm dt</math>.
#Par changement de variable <math>s=xt</math>, <math>G'(x)=-2\int_0^1\mathrm e^{-x^2-s^2}\,\mathrm ds=-2F'(x)F(x)</math> donc <math>(G+F^2)'=0</math>.<br>Par conséquent, <math>\forall x\in\R\quad(G+F^2)(x)=(G+F^2)(0)=0+\int_0^1\frac1{1+t^2}\,\mathrm dt=[\arctan]_0^1=\frac\pi4</math>.
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