« Calcul différentiel/Exercices/Courbes et surfaces dans R3 » : différence entre les versions
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Ligne 59 :
**Si <math>r=a-1</math>, c'est l'inverse.
**Si <math>r=1-a</math>, la courbe <math>S\cap C</math> est une hippopède (en forme de 8) donc elle a un point double et n'est pas une variété (pour <math>a=r=\frac12</math>, on retrouve la fenêtre de Viviani de l'exercice précédent).
}}
==Exercice 5==
#Montrer que l'équation <math>xy+xz+yz+2x+2y-z=0</math> définit une surface <math>S</math>. Donner l'équation du plan tangent de cette surface à l'origine.
#Montrer que le système d'équations <math>4xy+2xz+4y-z=xy+xz+yz+2x+2y-z=0</math> définit au voisinage de l'origine une courbe. Déterminer l'espace tangent de cette courbe à l'origine.
{{Solution|contenu=
#Posons <math>f:(x,y,z)\mapsto xy+xz+yz+2x+2y-z</math>. Alors, <math>\mathrm Jf=(y+z+2,x+z+2,x+y-1)</math> est nulle seulement en <math>(1/2,1/2,-5/2)</math>, point en lequel <math>f\ne0</math>. Donc <math>S</math> est une sous-variété (de dimension 2) de <math>\R^3</math>. Son plan tangent en <math>(0,0,0)</math> est <math>\ker(\mathrm Df_{(0,0,0)})</math>, d'équation <math>2x+2y-z=0</math>.
#Posons <math>g:(x,y,z)\mapsto(4xy+2xz+4y-z,xy+xz+yz+2x+2y-z)</math>. Alors, <math>\mathrm Jg(0,0,0)=\begin{pmatrix}0&4&-1\\2&2&-1\end{pmatrix}</math> est de rang 2 et son noyau est la droite de vecteur directeur <math>(1,1,4)</math>.
}}
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