« Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions

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→‎Exercice 2-1 : précision
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{{Solution|contenu=
La question étant ambiguë, on se contentera d'examiner les trois cas où la norme choisie sur l'espace <math>\R^2</math> d'arrivée est la même que sur l'espace <math>\R^2</math> de départ (sinon, il y aurait 6 autres cas à traiter).
#<math>u</math> est une [[similitude]] (indirecte) de rapport <math>\sqrt2</math> (c.-à-d. que <math>\|u(x,y)\|_2=\sqrt2\|(x,y)\|_2</math>) donc pour <math>\|\cdot\|_2</math>, <math>|\!|\!|u|\!|\!|=\sqrt2</math>.
#Pour <math>\|\cdot\|_\infty</math>, <math>|\!|\!|u|\!|\!|=2</math> car <math>\max(|x+y|,|x-y|)\le|x|+|y|\le2\max(|x|,|y|)</math>, avec égalité par exemple pour <math>(x,y)=(1,1)</math>.
#Pour <math>\|\cdot\|_1</math>, <math>|\!|\!|u|\!|\!|=2</math> car <math>|x+y|+|x-y|\le|x|+|y|+|x|+|y|=2(|x|+|y|)</math>, avec égalité par exemple pour <math>(x,y)=(1,0)</math>.
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