Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues
Exercice 2-1Modifier
On considère l'application linéaire définie par . Calculer la norme d'opérateur associée, selon que l'on munit de la norme , de la norme ou de la norme .
La question étant ambiguë, on se contentera d'examiner les trois cas où la norme choisie sur l'espace d'arrivée est la même que sur l'espace de départ (sinon, il y aurait 6 autres cas à traiter).
- est une similitude (indirecte) de rapport (c.-à-d. que ) donc pour , .
- Pour , car , avec égalité par exemple pour .
- Pour , car , avec égalité par exemple pour .
On considère la matrice . Calculer la norme d'opérateur de lorsqu'on prend sur la norme , puis la norme .
- Pour , car , avec égalité par exemple pour .
- Pour , car , avec égalité par exemple pour .
Pour un énoncé général, voir la proposition dans Analyse numérique et calcul scientifique/Généralités sur les matrices#Norme subordonnée.
Exercice 2-2Modifier
muni de la norme de la convergence uniforme.
Montrer que et calculer .
- La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de .
- Soit . On a
- .
- Conclusion : et .
- On pose pour tout la fonction qui :
- vaut sur ;
- vaut sur ;
- est affine sur .
- On a et l'on montre que .
Finalement, .
Exercice 2-3Modifier
Soient un -espace vectoriel normé et une forme linéaire. Montrer que est continue si et seulement si son noyau est fermé.
Le singleton est fermé dans donc si est continue alors est fermé dans .
Réciproquement, supposons que n'est pas continue et démontrons que n'est pas fermé. Par hypothèse, il existe une suite de la boule unité de telle que . À partir d'un certain rang , , ce qui permet de définir
- .
Par construction, la suite est à valeurs dans et converge vers , ce qui conclut.
Exercice 2-4Modifier
Soit l'espace vectoriel des fonctions continues sur , muni de la norme
- .
On considère l'application linéaire définie par , pour .
- Montrer que est continue et .
- En considérant la suite définie par , montrer que .
- Montrer qu'il n'existe pas de fonction non nulle telle que .
- .
- Pour tout , et donc , si bien que . Joint à la question précédente, ceci prouve que .
- Montrons que pour toute fonction non nulle , . Puisque est non nulle et continue, il existe et un intervalle non trivial tels que sur , . On a alors : .