Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues

Applications linéaires continues
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Exercices no2
Leçon : Espaces vectoriels normés
Chapitre du cours : Limites et continuité

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Normes
Exo suiv. :Dimension finie
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Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues
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Exercice 2-1Modifier

On considère l'application linéaire   définie par  . Calculer la norme d'opérateur   associée, selon que l'on munit   de la norme  , de la norme   ou de la norme  .

On considère la matrice  . Calculer la norme d'opérateur de   lorsqu'on prend sur   la norme  , puis la norme  .

Exercice 2-2Modifier

  muni de la norme   de la convergence uniforme.

 

Montrer que   et calculer  .

Exercice 2-3Modifier

Soient   un  -espace vectoriel normé et   une forme linéaire. Montrer que   est continue si et seulement si son noyau est fermé.

Exercice 2-4Modifier

Soit   l'espace vectoriel des fonctions continues sur  , muni de la norme

 .

On considère l'application linéaire   définie par  , pour  .

  1. Montrer que   est continue et  .
  2. En considérant la suite   définie par  , montrer que  .
  3. Montrer qu'il n'existe pas de fonction   non nulle telle que  .