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« Intégrale double/Intégration de fonctions positives » : différence entre les versions

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→‎Définition et premières propriétés : Cohérence : nulle part dans ce cours n'est définie l'intégrale d'une fonction continue positive sur un compact quelconque. Seulement sur les pavés.
m →‎Théorème de Fubini : +Style, –redondance
Ligne 38 :
{{Théorème
| contenu =
Soit <math>f: I \times J \rightarrow \R_+</math> continue telle que pour tout <math>\forall x \in I</math>, <math>f(x, \cdot)</math> soit intégrable sur <math>J</math> et <math>F : x \rightarrow \int_J f(x, \cdot)</math> soit continue par morceaux sur <math>I</math>. Alors :
:<math>f</math> intégrable sur <math>I \times J \Leftrightarrow F</math> intégrable sur <math>J</math>,
auquel cas <math>\iint\limits_{I\times J} f = \int_I F_1</math>.
}}
 
{{Théorème
| contenu =
Soit <math>f: I \times J \rightarrow \R_+</math>. On suppose :
* <math>f</math> continue sur <math> I \times J</math>;
* <math>f</math> intégrable sur <math> I \times J</math>;
* <math>\forall (x,y) \in I \times J \ f(x, \cdot)</math> et <math>f(\cdot, y)</math> sont intégrables sur resp. <math>J</math> et <math>I</math>
* <math>F_1 : x \rightarrow \int_J f(x, \cdot)</math> et <math>F_2 : y \rightarrow \int_I f(\cdot , y)</math> sont continues par morceaux.
Alors
:<math>\iint\limits_{I \times J} f = \int_I F_1 = \int_J F_2.</math>
}}
 
 
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