« Calcul différentiel/Exercices/Courbes et surfaces dans R3 » : différence entre les versions
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→Exercice 9 : +1 (dans R^2 mais tant pis) |
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{{Solution|contenu=
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00063.pdf exercice 2630
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==Exercice 10==
[[File:Cubique unicursale.pdf|thumb]]
On pose <math>f(x,y)=x^3+y^3- x^2-y^2</math>.
#Calculer le gradient <math>\operatorname{grad}(f)</math> et la différentielle <math>\mathrm Df</math> de la fonction <math>f</math>.
#Calculer l'équation de la tangente à la courbe d'équation <math>f(x,y)=0</math>, aux points <math>(1,1)</math>, <math>(0,1)</math> et <math>(1,0)</math>.
{{Clr}}
{{Solution|contenu=
#<math>\operatorname{grad}(f)(x,y)=(3x^2-2x,3y^2-2y)</math> et <math>\mathrm Df_{(x,y)}(h,k)=(3x^2-2x)h+(3y^2-2y)k</math>.
#La tangente en un point <math>(a,b)</math> est orthogonale au vecteur <math>\operatorname{grad}(f)(a,b)</math> donc elle a pour équation (si ce vecteur est non nul) : <math>(x-a)(3a^2-2a)+(y-b)(3b^2-2b)=0</math>, ce qui s'écrit :
#*si <math>(a,b)=(1,1)</math> : <math>x+y=2</math> ;
#*si <math>(a,b)=(0,1)</math> : <math>y=1</math> ;
#*si <math>(a,b)=(1,0)</math> : <math>x=1</math>.
}}
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