« Calcul différentiel/Exercices/Courbes et surfaces dans R3 » : différence entre les versions
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→Exercice 1 : Question préliminaire, pour commencer en douceur |
→Exercice 8 : complété solution |
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Ligne 106 :
==Exercice 8==
Trouver l'équation
#<math>z=\sqrt{19-x^2-y^2},\quad
#<math>z=\sin(\pi xy)\exp(2x^2y-1), \quad (x_0,y_0,z_0)=(1,1/2,1)</math>.
{{Solution|contenu=
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00063.pdf exercice
#Le plan tangent, en un point <math>(x_0,y_0,z_0)</math>, à la sphère d'équation <math>x^2+y^2+z^2=19</math>, a pour vecteur normal <math>2(x_0,y_0,z_0)</math> donc pour équation
#*cartésienne : <math>x_0x+y_0y+z_0z=19</math>,<br>soit, si <math>(x_0,y_0,z_0)=(1,3,3)</math> : <math>x+3y+3z=19</math> ;
#*paramétrique : par exemple, <math>x=x_0+sz_0,\;y=y_0+tz_0,\;z=z_0-sx_0-ty_0</math>,<br>soit, si <math>(x_0,y_0,z_0)=(1,3,3)</math> : <math>x=1+3s,\;y=3+3t,\;z=3-s-3t</math>.
#Le plan tangent, en un point <math>(x_0,y_0,z_0)</math>, à la surface d'équation <math>z=\sin(\pi xy)\exp(2x^2y-1)</math>, est dirigé par les deux vecteurs <math>\left(1,0,(y_0\pi\cos(\pi x_0y_0)+4x_0y_0)\exp(2x_0^2y_0-1)\right)</math> et <math>\left(0,1,(x_0\pi\cos(\pi x_0y_0)+2x_0^2)\exp(2x_0^2y_0-1)\right)</math> donc a pour équation
#*cartésienne : <math>z=z_0+\exp(2x_0^2y_0-1)[(x-x_0)(y_0\pi\cos(\pi x_0y_0)+4x_0y_0)+(y-y_0)(x_0\pi\cos(\pi x_0y_0)+2x_0^2)]</math>,<br>soit, si <math>(x_0,y_0,z_0)=(1,1/2,1)</math> : <math>z=2(x+y-1)</math> ;
#*paramétrique : par exemple, <math>x=x_0+s,\;y=y_0+t,\;z=z_0+s(y_0\pi\cos(\pi x_0y_0)+4x_0y_0)\exp(2x_0^2y_0-1)+t(x_0\pi\cos(\pi x_0y_0)+2x_0^2)\exp(2x_0^2y_0-1)</math>,<br>soit, si <math>(x_0,y_0,z_0)=(1,1/2,1)</math> : <math>x=1+s,\;y=1/2+t,\;z=1+2s+2t</math>.
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