« Série numérique/Exercices/Critère d'Abel » : différence entre les versions
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Ligne 119 :
==Exercice 6==
Nature de la série <math>\sum\frac{(-1)^n}{n^\alpha+(-1)^n}</math>, selon la valeur du réel <math>\alpha>0</math>.
{{Solution|contenu=
La série converge absolument si et seulement si <math>\alpha>1</math>.
:<math>\frac{(-1)^n}{n^\alpha+(-1)^n}-\frac{(-1)^n}{n^\alpha}=-\frac1{(n^\alpha+(-1)^n)n^\alpha}\sim-\frac1{n^{2\alpha}}</math>
donc notre série est la somme de la série alternée <math>\sum\frac{(-1)^n}{n^\alpha}</math> (semi-convergente par Abel) et d'une série qui converge si et seulement si <math>\alpha>\frac12</math>.
Conclusion : cette série est divergente si <math>0<\alpha\le\frac12</math>, semi-convergente si <math>\frac12<\alpha\le1</math>, et absolument convergente si <math>\alpha>1</math>.
Sa somme se déduit d'ailleurs de celle de la [[../Série harmonique#Question 4|série harmonique alternée]] :▼
▲
:<math>\frac{(-1)^{2k}}{2k+(-1)^{2k}}+\frac{(-1)^{2k+1}}{2k+1+(-1)^{2k+1}}=\frac1{2k+1}-\frac1{2k}</math>
donc
:<math>\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}=\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}n=\ln2-1</math>.
}}
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