Série numérique/Exercices/Critère d'Abel
Exercice 1
modifierAppliquer le critère d'Abel pour étudier les deux séries de terme général :
- , où et sont deux paramètres réels.
Si , est une série de Bertrand, qui converge si et seulement si .
Supposons maintenant . On utilise alors un résultat classique :
donc .
- La suite est décroissante à partir d'un certain rang et de limite nulle.
- pour tout entier .
Donc d’après le critère d'Abel, converge pour tout .
Cette convergence est absolue si (par majoration par une série de Bertrand convergente) mais pas si , par minoration par la série . En effet, cette dernière diverge car si alors et sinon, donc est minorée par la somme d'une série de Bertrand divergente et d'une série convergente.
- , où est un paramètre réel.
Si , cette série est grossièrement divergente car ne tend pas vers : sinon, tendrait aussi vers , ce qui est absurde car (pire : l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est : voir Topologie générale/Exercices/Topologie de R ou C#Exercice 3).
Supposons maintenant et utilisons le résultat classique analogue au précédent : pour tout entier naturel , et tout réel ,
Pour , on en déduit, pour tout entier :
- .
De plus, la suite est décroissante et de limite nulle. On peut donc appliquer le critère d'Abel, donc la série est convergente pour tout .
Cette convergence est absolue si (par majoration par une série de Riemann convergente) mais pas si (par minoration par la série divergente ).
Exercice 2
modifierComparer la nature des deux séries alternées suivantes :
est le terme général d'une suite décroissante et de limite nulle. D'après le critère de convergence des séries alternées, cette série converge (non absolument, puisque est une série de Riemann divergente).
Montrons que — bien que son terme général soit équivalent à celui de la précédente — cette série diverge (ce qui prouvera que la suite , positive et de limite nulle, n'est pas décroissante à partir d'un certain rang). Pour cela, calculons terme à terme sa différence avec la série convergente précédente.
- .
La série des différences est donc bien divergente, comme la série harmonique.
Exercice 3
modifierNature des trois séries :
Bien que son terme général soit équivalent à celui d'une série convergente (la série alternée , cf. exercice précédent), la série est divergente, comme somme de cette série convergente et d'une série divergente : la série harmonique. Le critère de convergence d'Abel est donc ici voué à l'échec, ce qui prouve que la suite , positive et de limite nulle, n'est pas décroissante à partir d'un certain rang (en fait, chaque terme d'indice pair est strictement supérieur au terme d'indice impair précédent).
donc la série est semi-convergente, comme somme d'une série alternée semi-convergente et d'une série absolument convergente.
- .
D'après le test de convergence des séries alternées, cette série converge. Mais elle est seulement semi-convergente car , or la série harmonique diverge.
Une façon moins directe de procéder est d'utiliser un développement limité de en 0 :
- donc la série est semi-convergente, comme somme d'une série alternée semi-convergente et d'une série absolument convergente.
Exercice 4
modifierNature des trois séries :
- , pour ;
et la suite est monotone à partir d'un certain rang et de limite nulle, donc la série converge, d'après le critère d'Abel. Si , la convergence n'est pas absolue, puisque et que la série harmonique diverge.
- .
En ,
et
donc la série converge, d'après le critère d'Abel.
La convergence n'est pas absolue, puisque est une série de Riemann divergente.
- .
Supposons ou [ et ] (sinon, la série est grossièrement divergente).
En ,
et
- pour suffisamment grand
donc la série converge, d'après le critère d'Abel.
La convergence n'est absolue que si ou [ et ], d'après l'étude des séries de Bertrand.
Exercice 5
modifier- Montrer que la série est convergente.
- On note sa -ième somme partielle. Vérifier que et en déduire que est du signe de .
- En déduire la somme de la série.
- Écrire la formule de Taylor avec reste intégral de Laplace de la fonction en 0 à l'ordre 2N + 2, évaluée au point 1, et comparer.
Faites ces exercices : Calcul de via une série de Fourier. |
- La suite est décroissante et de limite nulle donc la série converge, d'après le critère d'Abel.
- donc
- Or et , donc est bien du signe de .
- D'après la question 1, . D'après la question 2, donc (par passage à la limite des deux sous-suites) . Par conséquent, .
- Pour de classe Cn+1, donc ici,
,
les coefficients ayant été trouvés en intégrant le d.l. de Taylor-Young en 0 de . Le reste,
,
serait un peu pénible à majorer directement, mais notre exercice prouve qu'il tend vers 0 quand et même, que .
Exercice 6
modifierNature de la série , selon la valeur du réel .
La série converge absolument si et seulement si .
Pour , la suite n'est pas monotone donc le critère d'Abel ne s'applique pas. Cependant,
donc notre série est la somme de la série alternée (semi-convergente par Abel) et d'une série qui converge si et seulement si .
Conclusion : cette série est divergente si , semi-convergente si , et absolument convergente si .
Remarque : pour , la somme de cette série se déduit de celle de la série harmonique alternée en regroupant les termes consécutifs deux par deux :
donc
- .
Exercice 7
modifierSoient une suite monotone et bornée et une série convergente. Montrer que est convergente.
D'après les hypothèses, la suite admet une limite finie et la suite des sommes partielles de la série est bornée. D'après le test de Dirichlet (corollaire du critère d'Abel), la série est convergente. La série l'étant également, leur somme l'est.
Exercice 8
modifierDémontrer que pour tout nombre complexe de module , la série converge.
Le critère d'Abel (ou même le critère de Dirichlet, qui en est un cas particulier) s'applique car :
- la suite est monotone et de limite nulle ;
- la série a ses sommes partielles bornées : .
Exercice 9
modifierSoit avec . Calculer et montrer que la série converge. À quelle condition la convergence est-elle absolue ?
avec ( et étant définis pour suffisamment grand, et même pour tout si ).
.
étant de signe constant pour suffisamment grand, il existe tel que, sur , soit (définie et) monotone.
De plus, puisque , il existe tel que, sur , donc sur ce sous-intervalle, est encore monotone.
La suite est donc (définie et) monotone à partir d'un certain rang. Comme elle tend vers 0, le critère d'Abel (ou même le critère de Dirichlet, qui en est un cas particulier) s'applique et la série converge.
Puisque , la convergence est absolue si et seulement si , c'est-à-dire .