Série numérique/Exercices/Critère d'Abel

Critère d'Abel
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Exercices no6
Leçon : Série numérique
Chapitre du cours : Propriétés

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Cauchy et d'Alembert
Exo suiv. :Nature de séries
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Série numérique/Exercices/Critère d'Abel
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Exercice 1Modifier

Appliquer le critère d'Abel pour étudier les deux séries de terme général :

  •  , où   et   sont deux paramètres réels.
  •  , où   est un paramètre réel.

Exercice 2Modifier

Comparer la nature des deux séries alternées suivantes :

  •  
  •  

Exercice 3Modifier

Nature des trois séries :

  •  
  •  
  •  .

Exercice 4Modifier

Nature des trois séries :

  •  , pour   ;
  •  .
  •  .

Exercice 5Modifier

  1. Montrer que la série   est convergente.
  2. On note   sa  -ième somme partielle. Vérifier que   et en déduire que   est du signe de  .
  3. En déduire la somme de la série.
  4. Écrire la formule de Taylor avec reste intégral de Laplace de la fonction   en 0 à l'ordre 2N + 2, évaluée au point 1, et comparer.

Exercice 6Modifier

Nature de la série  , selon la valeur du réel  .

Exercice 7Modifier

Soient   une suite monotone et bornée et   une série convergente. Montrer que   est convergente.

Exercice 8Modifier

Démontrer que pour tout nombre complexe   de module  , la série   converge.

Exercice 9Modifier

Soit   avec  . Calculer   et montrer que la série   converge. À quelle condition la convergence est-elle absolue ?