« Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité » : différence entre les versions
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Ligne 13 :
On se propose d'étendre aux espaces vectoriels normés le [[Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité#Théorèmes sur la dérivation|théorème « limite de la dérivée »]], et de le renforcer en allégeant ses hypothèses. Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux espaces vectoriels normés, <math>U</math> un ouvert de <math>E</math> et <math>a</math> un point de <math>U</math>.
#Soit <math>f:U\to F</math> une application continue au point <math>a</math>, différentiable sur <math>U\setminus\{a\}</math>, et dont la différentielle admet au point <math>a</math> une limite : <math>\lim_{x\to a}\mathrm df_x=L\in\mathcal L\left(E,F\right)</math>.<br />À l'aide de l'inégalité des accroissements finis, démontrer que <math>f</math> est différentiable au point <math>a</math> et <math>\mathrm df_a=L</math>.
#Application : montrer que la fonction<br><math>f:\R^2\to\R\;(x,y)\mapsto\begin{cases}
#Soit <math>g:U\setminus\{a\}\to F</math> une application différentiable et dont la différentielle admet une limite au point <math>a</math>. À l'aide du [[Topologie générale/Complétude#Espace complet|critère de Cauchy pour une fonction]], démontrer que si <math>F</math> est complet et <math>\dim E>1</math>, alors <math>g</math> elle-même admet une limite en <math>a</math> (si bien que d'après la question précédente, elle se prolonge en une fonction de classe C{{exp|1}} en ce point).
#Quelle variante de la question 3 peut-on énoncer si <math>E=\R</math> ?
Ligne 28 :
ce qui prouve que <math>\mathrm df_a=L</math>.
'''2°)''' <math>f</math> est évidemment C{{exp|
En tout point <math>(x,y)\ne(0,0)</math>, <math>\frac{\partial f}{\partial x}=
</math> donc <math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop(x,y)\ne(0,0)}\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{r\to0^+}2\sin\theta\left(r\ln r+r\cos^2\theta\right)=0</math>. De même, <math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop(x,y)\ne(0,0)}\frac{\partial f}{\partial y}=0</math>
D'après la question 1) ceci prouve que <math>\mathrm Mais pas deux fois différentiable, car <math>\lim_{y\to0\atop y\ne0}\frac1y\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)=\lim_{y\to0\atop y\ne0}\ln\left(y^2\right)=-\infty</math> donc <math>\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(0,0)</math> n'est pas définie (de même, <math>\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(0,0)</math> non plus).
'''3°)''' Il s'agit de démontrer que <math>\lim_{h,k\to 0}\left\|g\left(a+h\right)-g\left(a+k\right)\right\|=0</math>.
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