« Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples » : différence entre les versions
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Ligne 34 :
#Calculer le volume du « tonneau » <math>\Omega_{a,b,c}:=\{(x,y,z)\in[-a,a]\times\R^2\mid\sqrt{y^2+z^2}\le b\sin(cx)\}</math>, où <math>b>0</math> et <math>0<a<\frac{c\pi}2</math>.
#Dans le plan <math>(xOy)</math>, on considère un disque, de centre <math>(0,R,0)</math> et de rayon <math>a\le R</math>.<br>Calculer le volume du tore plein obtenu en faisant tourner ce disque autour de l'axe <math>(Ox)</math>.
#Calculer le volume du cylindre <math>\left\{(x,y,z)\in[0,h]\times\R^2\mid y^2+z^2\le R^2\right\}</math> avec <math>R,h>0</math>.
#Calculer le volume du cône <math>\left\{(x,y,z)\in[0,h]\times\R^2\mid y^2+z^2\le x^2/h^2\right\}</math> avec <math>h>0</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>\int_a^b\left(\iint_{\sqrt{y^2+z^2}\le f(x)}\mathrm dy\,\mathrm dz\right)\mathrm dx=\int_a^b\pi f^2(x)\,\mathrm dx</math>.
#<math>\pi\int_{-a}^ab^2\sin^2(cx)\,\mathrm dx=\pi b^2\int_{-a}^a\frac{1-\cos(2cx)}2\,\mathrm dx=\pi b^2\left(a-\frac{\sin(2ca)}{2c}\right)</math>.
#Dans le plan <math>(xOy)</math>, le cercle a pour équation <math>x^2+(y-R)^2=a^2</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] <math>y=R\pm\sqrt{a^2-x^2}</math>, donc le disque : <math>R-\sqrt{a^2-x^2}\le|y|\le R+\sqrt{a^2-x^2}</math> et le tore : <math>R-\sqrt{a^2-x^2}\le\sqrt{y^2+z^2}\le R+\sqrt{a^2-x^2}</math>. D'après la question 1, le volume du tore est donc :<br><math>\pi\int_{-a}^a\left(\left(R+\sqrt{a^2-x^2}\right)^2-\left(R-\sqrt{a^2-x^2}\right)^2\right)\,\mathrm dx=4\pi R\int_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx=2\pi R\iint_{x^2+y^2\le a^2}\mathrm dx\,\mathrm dy=2\pi^2 Ra^2</math>.
#D'après la question 1, le volume de ce cylindre est <math>\pi\int_0^hR^2\,\mathrm dx=\pi R^2h</math>.
#D'après la question 1, le volume de ce cône est <math>\pi\int_0^hx^2/h^2\,\mathrm dx=\frac\pi{h^2}\frac{h^3}3=\frac{\pi h}3</math>.
}}
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