Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples

Intégrales multiples
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Exercices no2
Leçon : Intégrale double

Exercices de niveau 15.

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Exercice 2-1Modifier

Calculer les volumes de   et  .

Exercice 2-2Modifier

Calculer :

  1.    ;
  2.    ;
  3. pour   :
    1.  ,
    2.  ,
    3.  ,
    4.   ;
  4.    ;
  5. pour   :
    1.  ,
    2.   ;
  6.    ;
  7.  .

Exercice 2-3Modifier

Quel est le volume délimité par deux cylindres de révolution d'axes   et   et de même rayon   ?

Wikipédia possède un article à propos de « Fenêtre de Viviani ».

Quel est le volume de l'intersection de la boule   et du cylindre   ?

Indication : remarquer que  .

Exercice 2-4Modifier

  1. Soit   une fonction continue, et   le solide délimité par la rotation du graphe de   autour de l'axe   :
     .
    Montrer que le volume de   est égal à  .
  2. Calculer le volume du « tonneau »  , où   et  .
  3. Dans le plan  , on considère un disque, de centre   et de rayon  .
    Calculer le volume du tore plein obtenu en faisant tourner ce disque autour de l'axe  .
  4. Calculer le volume du cylindre   avec  .
  5. Calculer le volume du cône   avec  .
  6. Calculer le volume de la portion de paraboloïde  .
  7. Calculer le volume du solide en dessous du cône   et au-dessus de la couronne   et  .
  8. Calculer le volume de l'intersection du cylindre   et de l'ellipsoïde  .
  9. Dans le plan  , on considère le domaine borné   délimité par les courbes   et  .
    Calculer le volume du solide obtenu en faisant tourner   autour de l'axe  .

Exercice 2-5Modifier

  1. Calculer le volume de l'ellipsoïde   (avec  ).
  2. Calculer  .
  3. Calculer le volume de  .
  4. On considère l'hyperboloïde à une nappe d'équation   (avec  ).
    1. Calculer le volume   de  .
    2. Calculer le volume de  .
    3. Calculer  .

Exercice 2-6Modifier

Soient   (intersection d'une demi-boule et d'un cyclindre de même axe),   son volume et   son centre de gravité, de coordonnées  .

On rappelle que   est défini par  .

Identifier   géométriquement. Déterminer   et  , puis  , puis  .

Exercice 2-7Modifier

Soient   et  .

  1. Trouver un domaine   et une fonction   tels que  .
  2. Calculer le volume du solide  .

Exercice 2-8Modifier

  1. Tracer l'ensemble  . Déterminer l'intersection de   avec la sphère  .
  2. Tracer le solide  .
  3. Calculer le volume de  .

Exercice 2-9Modifier

Soit   un domaine simple du plan  , d'aire  . Calculer le volume du cône de base   et de sommet  .

Exercice 2-10Modifier

Étudier l'intégrabilité des fonctions suivantes (où   et   est un paramètre) :

  1.   sur  
  2.   sur  
  3.   sur  
  4.   sur  
  5.   sur  
  6.   sur