« Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples » : différence entre les versions

#D'après la question 1, le volume de ce cylindre est <math>\pi\int_0^hR^2\,\mathrm dx=\pi R^2h</math>.

#D'après la question 1, le volume de ce cône est <math>\pi\int_0^hx^2/h^2\,\mathrm dx=\frac\pi{h^2}\frac{h^3}3=\frac{\pi h}3</math>.

#D'après la question 1 (en permutant les variables), le volume de ce solide (cylindre biseauté) est<br><math>\pi\int_0^2(25-4)\,\mathrm dz+\pi\int_2^5(25-z^2)\,\mathrm dz=\pi\left(25\times5-4\times2-\frac{5^3-2^3}3\right)=2\pi\frac{5^3-2^3}3=\frac{234\pi}3</math>.<br>Autre méthode :<br><math>\iint_{4\le x^2+y^2\le25}\sqrt{x^2+y^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\int_{[2,5]\times[0,2\pi]}r^2\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta=\frac{5^3-2^3}3\times2\pi=\frac{234\pi}3</math>.

#D'après la question 1 (en permutant les variables), le volume de ce solide est<br><math>\pi\int_{-8}^8\min(4,(64-z^2)/4)\,\mathrm dz=2\pi\int_0^{4\sqrt3}4\,\mathrm dz+\frac\pi2\int_{4\sqrt3}^8(64-z^2)\,\mathrm dz=\pi\left(32\sqrt3+32(8-4\sqrt3)-\frac{8^3-(4\sqrt3)^3}6\right)=64\pi\left(\frac83-\sqrt3\right)</math>.