« Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples » : différence entre les versions
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m →Exercice 2-3 : mep |
→Exercice 2-3 : solution |
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Ligne 41 :
:<math>V=8\iint_{-x\le y\le x\le R}\sqrt{R^2-x^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy=8\int_0^R2x\sqrt{R^2-x^2}\,\mathrm dx=8\int_0^{R^2}\sqrt{t}\,\mathrm dt=8\left[\frac{t^{3/2}}{3/2}\right]_0^{R^2}=\frac{16R^3}3</math>.
}}
{{Clr}}
{{Wikipédia|Fenêtre de Viviani}}
Quel est le volume de l'intersection de la boule <math>x^2+y^2+z^2\le4R^2</math> et du cylindre <math>x^2+(y-R)^2\le R^2</math> ?
Indication : remarquer que <math>(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta-R)^2\le R^2\
{{Solution|contenu=
<math>\int_0^\pi\left(\int_0^{2R\sin\theta}2\sqrt{4R^2-r^2}\,r\;\mathrm dr\right)\mathrm d\theta=\int_0^\pi\left(\int_{4R^2-(2R\sin\theta)^2}^{4R^2-0}\sqrt u\;\mathrm du\right)\mathrm d\theta=\frac23\int_0^\pi\left[u^{3/2}\right]_{4R^2\cos^2\theta}^{4R^2}\mathrm d\theta=\frac23(2R)^3\int_0^\pi\left(1-|\cos\theta|^3\right)\;\mathrm d\theta=\frac43(2R)^3\int_0^\frac\pi2\left(1-\frac{\cos(3\theta)+3\cos\theta}4\right)\;\mathrm d\theta</math> (par [[Approche géométrique des nombres complexes/Apports à la trigonométrie#Formules de linéarisation|linéarisation]]).
<math>\frac43(2R)^3\left[\theta-\frac14\left(\frac{\sin(3\theta)}3+3\sin\theta\right)\right]_0^\frac\pi2=\frac43(2R)^3\left(\frac\pi2-\frac23\right)=\frac{16R^3}3\left(\pi-\frac43\right)</math>.
}}
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