« Calcul différentiel/Exercices/Continuité et différentiabilité de fonctions de Rp dans Rq » : différence entre les versions
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m →Exercice 1 : menue généralisation |
→Exercice 1 : +1 sous-question |
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Ligne 17 :
#<math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop(x,y)\ne(0,0)}\frac{x^py^q}{\left(ax^2+by^2\right)^\alpha}</math> et <math>\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)\atop(x,y,z)\ne(0,0,0)}\frac{x^py^qz^r}{ax^2+by^2+cz^2}</math> si <math>p,q,r\in\N</math>, <math>a,b,c\in\R_+^*</math> et <math>\alpha\in\R</math> ;
#<math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop(x,y)\ne(0,0)}\frac{|x|+|y|}{x^2+y^2}</math>, <math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop(x,y)\ne(0,0)}\frac{x^4+y^3-xy}{x^4+y^2}</math> ;
#<math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop x\ne0}\frac{\sin x}x</math>, <math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop(x,y)\ne(0,0)}\frac{\sin(x^2y)}{x^2+y^2}</math>, <math>\lim_{(x,y)\to(x_0,0)\atop y\ne0}\frac{1-\cos(xy)}{y^2}</math>, <math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop(x,y)\ne(0,0)}\frac{\ln\left(x+\mathrm e^y\right)}\sqrt{x^2+y^2}</math>, <math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop(x,y)\ne(0,0)}\frac{x^2\operatorname e^x+y^2}{x^2+y^2}</math>.
{{Solution|contenu=
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Ligne 41 :
#*<math>\lim_{(x,y)\to(x_0,0)\atop y\ne0}\frac{1-\cos(xy)}{y^2}=\lim_{(x,y)\to(x_0,0)\atop y\ne0}\frac{(xy)^2/2}{y^2}=\lim_{x\to x_0}\frac{x^2}2=\frac{x_0^2}2</math>.
#*<math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop(x,y)\ne(0,0)}\frac{\ln\left(x+\mathrm e^y\right)}\sqrt{x^2+y^2}</math> n'existe pas car quand <math>y=kx</math> et <math>x\to0^\pm</math>, <math>\frac{\ln\left(x+\mathrm e^y\right)}\sqrt{x^2+y^2}\sim\frac{(1+k)x}{\sqrt{1+k^2}|x|}\to\pm\frac{1+k}\sqrt{1+k^2}</math>.
#*<math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop(x,y)\ne(0,0)}\frac{x^2\operatorname e^x+y^2}{x^2+y^2}=1+\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop(x,y)\ne(0,0)}\frac{x^2\left(\operatorname e^x-1\right)}{x^2+y^2}=1+\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop(x,y)\ne(0,0)}\frac{x^3}{x^2+y^2}=1</math> (cf. question 5).
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