Calcul différentiel/Exercices/Continuité et différentiabilité de fonctions de Rp dans Rq

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Continuité et différentiabilité de fonctions de Rp dans Rq
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Exercices no9
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Différentiabilité

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Courbes et surfaces dans ℝ3
Exo suiv. :Sommaire
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Exercice 1Modifier

Étudier l'existence des limites suivantes :

  1.  ,  ,   ;
  2. limites de   en  ,   et (?)   ;
  3.  ,   ;
  4.  ,  ,   ;
  5.   et   si  ,   et   ;
  6.  ,  ,   ;
  7.  ,  ,  ,  ,  .

Exercice 2Modifier

Justifier la différentiabilité des fonctions suivantes et calculer leurs différentielles :

 .

Exercice 3Modifier

Préciser les domaines de définition et calculer les dérivées partielles premières des six fonctions suivantes :

 .

Est-ce que ces fonctions sont de classe C1 ou plus ?

Exercice 4Modifier

Soient   différentiable en un point   et   différentiable au point  .

  1. Justifier la formule suivante :
     .
  2. La simplifier dans le cas particulier   et  , en notant   (pour  ) la fonction «  -ème coordonnée »  .

Exercice 5Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Fonction harmonique ».

On définit le laplacien   d'une fonction   de   variables par :  .

Calculer le laplacien des deux fonctions   et   définies sur   par

 ,

  désigne la norme euclidienne usuelle et   est un réel.

Exercice 6Modifier

Soit

 

une fonction différentiable. On pose

 .
  1. Expliciter une fonction   telle que  .
  2. Calculer la matrice jacobienne de  ,
     .
  3. En déduire une relation entre les gradients
     .
  4. Montrer que
     .
  5. Calculer les dérivées partielles de la fonction  .
  6. On pose   et  .
    Calculer  ,  , et   pour tout réel  .

Exercice 7Modifier

Soit un vecteur non nul  . Trouver toutes les fonctions   différentiables sur   telles que

 .

Trouver les fonctions différentiables   telles que

 .

(On pourra effectuer le changement de variables  .)

Trouver toutes les fonctions deux fois différentiables   qui vérifient :

  1.   ;
  2.   ;
  3.  .

Exercice 8Modifier

Soit   définie par :

  si   et  .

Déterminer les dérivées directionnelles de   en   dans toutes les directions, et en particulier ses dérivées partielles. Montrer que   n'est pas différentiable, ni même continue.

Mêmes questions pour   si   et  .

Exercice 9Modifier

Soit   définie par :

  si   et  .

Montrer que pour toute courbe   telle que  , si   est dérivable en   alors   aussi — en particulier, les dérivées directionnelles de   en   existent dans toutes les directions — mais que   n'est cependant pas différentiable en  .

Que dire des limites en ce point des dérivées directionnelles ?

Exercice 10Modifier

À l'aide de la formule de Laplace, calculer les dérivées partielles de l'application   puis sa différentielle, en un point quelconque  .

Exercice 11Modifier

Justifier l'existence des dérivées partielles des fonctions suivantes et les calculer :

 .

Exercice 12Modifier

Soient   et   définies par

 .

Calculer les matrices jacobiennes de  ,  ,   et  .

Exercice 13Modifier

Montrer que l'application   a un prolongement continu sur   et étudier la différentiabilité de ce prolongement.

Exercice 14Modifier

Soient   une fonction différentiable de deux variables   et  .

Exprimer   et   en fonction de   et  , puis   en fonction de  .

Exercice 15Modifier

Soit   si   et  .

  1. Montrer que   est continue sur  .
  2. Calculer ses dérivées partielles en  .
  3. Est-elle différentiable en ce point ?

Mêmes questions pour   si   et  .

Exercice 16Modifier

On pose   et  .

  1. Calculer le gradient de   et la matrice jacobienne de  .
  2. Calculer le gradient de  . Donner une relation entre  ,   et  .

Exercice 17Modifier

Soient   un intervalle ouvert et   une fonction de classe C1. On définit   par

 

Démontrer que   est continue.

Exercice 18Modifier

On considère la fonction  .

  1. Étudier la continuité de   en chaque point de  .
  2. Calculer les dérivées partielles de   en chaque point où elles existent.
  3. Étudier la continuité des dérivées partielles de   sur  , puis en  .
  4. Étudier la différentiabilité de   en chaque point de  .
  5. Calculer la différentielle de   au point  .