« Calcul différentiel/Exercices/Continuité et différentiabilité de fonctions de Rp dans Rq » : différence entre les versions
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→Exercice 1 : +1 sous-question |
→Exercice 1 : idem |
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Ligne 11 :
==Exercice 1==
Étudier l'existence des limites suivantes :
#<math>\lim_{(x,y)\to(1,-2)}x+y^2</math>, <math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop x>0}\ln\frac x{1+y^2}</math>, <math>\lim_{(x,y)\to(0,y_0)\atop x\ne0}|x|^y</math> ;
#limites de <math>\sqrt{1-x^2-y^2}</math> en <math>(0,0)</math>, <math>(1,0)</math> et (?) <math>(1,1)</math> ;
#<math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop(x,y)\ne(0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}</math>, <math>\lim_{x\to0\atop x\ne0}\lim_{y\to0\atop y\ne0}(x+y)\sin\frac1x\sin\frac1y</math> ;
Ligne 22 :
#*Cette fonction étant continue sur <math>\R^2</math>, sa limite en tout point égale sa valeur (ici : <math>1+(-2)^2=5</math>).
#*Quand <math>x\to0^+</math> et <math>y\to0</math>, <math>\ln\frac x{1+y^2}=\ln x-\ln(1+y^2)\to-\infty-0</math>.
#*<math>\lim_{(x,y)\to(0,y_0)\atop x\ne0}|x|^y=\exp\left(y_0\times(-\infty)\right)=\begin{cases}0&\text{si }y_0>0\\+\infty&\text{si }y_0<0\\1&\text{si }y_0=0\\\end{cases}</math>.
#Cette fonction étant continue sur le disque unité fermé, sa limite en <math>(0,0)</math> est <math>1</math> et celle en <math>(1,0)</math> est <math>0</math>. En <math>(1,1)</math>, la limite n'a pas de sens car ce point n'est pas adhérent au domaine de définition.
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