« Calcul différentiel/Exercices/Continuité et différentiabilité de fonctions de Rp dans Rq » : différence entre les versions

#<math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop x+y\ne0}\frac{x^2y}{x+y}</math>, <math>\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)\atop2x^3+yz^2\ne0}\frac{xyz+z^3}{2x^3+yz^2}</math>, <math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop x\ne\pm y}\frac{x^4y}{x^2-y^2}</math> ;

#<math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop(x,y)\ne(0,0)}\frac{x^py^q}{\left(ax^2+by^2\right)^\alpha}</math> et <math>\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)\atop(x,y,z)\ne(0,0,0)}\frac{x^py^qz^r}{ax^2+by^2+cz^2}</math> si <math>p,q,r\in\N</math>, <math>a,b,c\in\R_+^*</math> et <math>\alpha\in\R</math> ;

#<math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop x\ne0}\frac{\sin x}x</math>, <math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop(x,y)\ne(0,0)}\frac{\sin(x^2y)}{x^2+y^2}</math>, <math>\lim_{(x,y)\to(x_0,0)\atop y\ne0}\frac{1-\cos(xy)}{y^2}</math>, <math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop(x,y)\ne(0,0)}\frac{\ln\left(x+\mathrm e^y\right)}\sqrt{x^2+y^2}</math>, <math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop(x,y)\ne(0,0)}\frac{x^2\operatorname e^x+y^2}{x^2+y^2}</math>.

{{Solution|contenu=

#*<math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop(x,y)\ne(0,0)}\frac{|x|+|y|}{x^2+y^2}\ge\lim_{r\to0\atop r>0}\frac1r=+\infty</math>.

#*<math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop(x,y)\ne(0,0)}\frac{x^4+y^3-xy}{x^4+y^2}</math> n'existe pas car (par exemple) <math>\lim_{x\to0\atop x\ne0}\frac{x^4+0^3-x0}{x^4+0^2}=1</math> et <math>\lim_{y\to0\atop y\ne0}\frac{0^4+y^3-0y}{0^4+y^2}=0</math>.

#

#*<math>\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop x\ne0}\frac{\sin x}x=\lim_{x\to0\atop x\ne0}\frac{\sin x}x=1</math>.