« Recherche:L'énigme de Fermat passée au crible » : différence entre les versions
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La première lecture (vers 1997) qui m'a fait m'intéresser à ce problème est celle du célèbre ouvrage de vulgarisation de Simon Singh, ''Le dernier théorème de Fermat,'' lecture qui m'avait été suggérée par une amie étudiante en mathématiques. Là j'ai commencé à sentir que je tenais quelque chose<ref>« Dans notre connaissance des choses de l’Univers (qu’elles soient mathématiques ou autres), le pouvoir rénovateur en nous n’est autre que l’innocence. C’est l’innocence originelle que nous avons tous reçue en partage à notre naissance et qui repose en chacun de nous, objet souvent de notre mépris, et de nos peurs les plus secrètes. Elle seule unit l’humilité et la hardiesse qui nous font pénétrer au cœur des choses, et qui nous permettent de laisser les choses pénétrer en nous et de nous en imprégner. » (Récoltes et semailles, p 51).</ref>. Baudelaire dit dans un de ses poèmes : « J’aime passionnément le mystère parce que j’ai toujours l’espoir de le débrouiller. » J'ai moi aussi cette passion, poussée à un haut degré ma foi. Souvent on considère un mystère comme insoluble, par la raison même qui devrait le faire regarder comme facile à résoudre. En faisant simplement preuve de bon sens, dans une perception fine des choses, une approche objective dénuée de tout préjugé, alors à mesure qu’on progresse dans la recherche les découvertes apportent un lot de satisfactions inestimable, c'est un merveilleux cadeau qu'on se fait à soi-même. Vers 1646 Roberval écrivait à Torricelli, évoquant Fermat : ''« Cet homme remarquable, le premier d’entre nous, m’envoya deux propositions très subtiles, sans les accompagner de leurs démonstrations. Et alors que je lui demandais les démonstrations de ces propositions ardues, il me répondit, par lettre, en ces termes :'' <span style="color:blue">''« J'ai dû travailler pour les découvrir. Travaillez vous aussi ; vous prendrez ainsi conscience que c’est dans ce travail que consiste la majeure partie du plaisir.'' »</span> Qui a ''l'esprit de discernement'' sait faire preuve de '''simplicité''', de confiance, d'humilité, d'imagination, d'audace, '''d'analyse rigoureuse''', aptitudes nécessaires à la résolution d'une énigme. Je crois que la résolution des énigmes les plus importantes de la vie, soit que la notion d’infini représente une pièce essentielle du mystère, soit qu'elle y soit absente, est toujours possible. Mais dans ce cas-ci j'ai eu beau chercher, presque toujours avec le même enthousiasme, je ne trouvais que quelques indices de-ci de-là. Il est vrai qu'en les assemblant ils me confortaient dans mon intuition initiale, et même s'ils n'aboutissaient à rien de concret, ils constituaient déjà, après à un survol objectif du contexte général plusieurs fois réitéré (où j'incluais les mots de Fermat et ceux de tous ses détracteurs), un bon début d'analyse. Il me fallut attendre une douzaine d'années avant de recevoir un message privé ''via'' Wikipedia, d'un mathématicien amateur (Monsieur Roland Franquart) qui allait beaucoup m'aider. Nous nous sommes téléphoné et je crois bien que nous avons conversé pendant une heure. Par la suite nous avons beaucoup échangé et travaillé sur un blog dédié où une doctorante était intervenue. Puis j'ai continué à tenter de rendre l'article de Wikipédia sur le théorème un peu plus fiable sans parvenir à grand-chose, une très vive opposition, même pour les plus simples détails, m'en empêchant. Les professeurs ou anciens professeurs de mathématiques que j’y ai rencontrés ont la manie d’appeler banales toutes choses situées au-delà de leur compréhension, et vivent ainsi au milieu d’une immense légion de banalités. Renonçant finalement à tenter d'améliorer un peu plus cet article (et quelques autres), j'ai quitté Wikipedia et repris mes recherches. Je ne me doutais pas qu'en travaillant seul, l'esprit libéré, j'allais pouvoir progresser au fil de trouvailles de plus en plus nombreuses et étonnantes qu'après Roland Franquart j'allais faire à mon tour. Je dois à la justice de dire que sans ses découvertes je n'aurais rien trouvé de neuf, et toute cette recherche n'aurait pu se faire, à tout seigneur tout honneur.
Vers 2006 après avoir consulté la fiche Wikipédia concernant ce théorème j'avais tout de suite vu que de tous les arguments avancés par les contempteurs de Pierre de Fermat et repris par les wikipédiens, absolument aucun ne tenait la route. Pourtant, tous y étaient réunis, la partie de l'article concernant la possibilité d'une preuve par Fermat lui-même avait été rédigée à partir de tous ces arguments très orientés et parfois péremptoires, ''sans jamais prendre en compte un seul argument'' d'un mathématicien disant que Fermat, immense génie de la valeur de Pascal sans doute, grand pédagogue et juge à la fois, ait pu détenir la preuve qu'il affirmait avoir mise au jour, défiant tous les “savants” de la trouver à leur tour. C'est ainsi que les gardiens du temple interdisaient par exemple que figure dans l'article le nom de la chercheuse et mathématicienne la plus experte (Catherine Goldstein) et universellement reconnue, de Pierre de Fermat et de ses travaux. De même vous rêvez si vous pensez qu'aurait pu y figurer le nom de Jacques Roubaud. Quant à l'opinion de ce dernier, toujours au sujet du théorème, sur « les suiveurs des suiveurs qui ne savent plus rien de ce qui a motivé les fondateurs, qui pensent savoir tout ce qu’il y a à savoir, dès les commencements »,'' les amateurs dont je parle sont toujours aussi persuadés qu'ils savent « ''tout ce qu’il y a à savoir. »
Nombreux sont les scientifiques contemporains, toutes disciplines confondues, qui raisonnent avec une forme de pensée magique, font preuve de condescendance quand ce n'est pas un mépris ouvert envers les Anciens. Cette condescendance fait d'ailleurs partie des mœurs courantes des mathématiciens accomplis. Dieu sait si je suis averti pour dire combien il peut y avoir de personnes qui sont bardées de diplômes comme autant de certitudes, de ces personnes que la reconnaissance académique conforte dans leurs certitudes béates. La question à se poser en voyant la façon étonnante dont était rédigé l'article était « Pourquoi donc ? ». C'était la première pierre à soulever impérativement, pour ne pas être contaminé par le pessimisme ambiant et partir du bon pied. Il peut paraître étonnant que les professeurs qui ont écrit ce texte n’en aient pas perçu tout le ridicule, non seulement en contribuant à propager la rumeur mais en la portant à son maximum désirable. Tel semble être le destin de ces sites où les experts, quand ils ne se font pas exclure, s’en vont un jour d’eux-mêmes, lassés d’avoir eu à batailler contre des amateurs. Ces amateurs, se prenant pour des encyclopédistes, durant de longues années ont causé beaucoup de tort à l'encyclopédie ''participative''. À ce rythme elle aura un jour perdu toute crédibilité.
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''« C’est ce que trouve qui m’apporte ce que je cherche. » ''([[w:Pierre_Soulages|Pierre Soulages]], peintre). Certaines des découvertes ci-dessus ont en effet été permises grâce à ce riche concept de [[w:sérendipité|sérendipité]].
Pour Pierre de Fermat la géométrie et l'arithmétique sont à la fois une passion, un travail et un jeu (rappelons qu'il s'est plu à travailler sur les carrés magiques). Il utilise beaucoup le latin, dont la rigueur et la concision correspondent parfaitement aux exigences des mathématiques. En effet déroger aux règles précises de cette langue lui permet de jouer avec les mots, l'usage de « ''l’ellipse énigmatique ou du cryptage »'' (Ludivine Goupillaud) en étant l'exemple le plus remarquable. Dans cette lettre bilan il opère une translation du latin vers le français et pour la première et unique fois il utilise le procédé du cryptage dans un texte sibyllin écrit dans sa langue natale. Si on veut lire entre les lignes : ''« Pour comprendre les tenants et aboutissants de cette lettre testament il ne vous suffira pas d’en faire une lecture objective, vous devrez aussi la soumettre à une analyse rigoureuse, elle est en effet le fruit d’une très ingénieuse recherche. À votre tour vous devrez vous astreindre à une très subtile recherche. »'' Ses détracteurs en déformant son propos douteront de ses compétences et feront de cette lettre l'argument principal pour nier qu'il ait pu avec ses propres outils trouver une preuve de grand théorème. Ses partisans se réjouiront en découvrant ces subtilités, qui si elles ne sont pas aussi déterminantes que le cryptage de sa plus célèbre ''observation'' (voir ''infra'') sont sublimes elles aussi.
Quand Samuel publie les ''Varia opera'' <span style="color:blue">après la mort de son père</span> (comme il l'a fait pour les ''Observations'', mais 9 ans plus tard), il y insère une seule lettre évoquant cette fausse conjecture, celle adressée à Monsieur de ****. On est quasiment assuré qu’il s’agit encore de Frenicle de Bessy.:
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=== Le triangle arithmétique ===
''« Les intellectuels résolvent les problèmes, les génies les évitent. »'' (Albert Einstein).
<br><br>Pierre de Fermat était tout sauf un suiveur, il n’est pas étonnant qu'il fût un aussi grand passionné. Loin de Paris et isolé, il n'avait pas de contact autre qu’épistolaire avec les autres mathématiciens et il était fondé, dans sa solitude intellectuelle, à apprécier les recherches les plus ardues et les plus enrichissantes. Ses correspondants rechignèrent de plus en plus à répondre à ses lettres, et finalement tous y renoncèrent. Fermat avait eu connaissance du triangle arithmétique, au moins par les travaux, qu’il connaissait, de François Viète, mort en 1603. D'ailleurs ce triangle était déjà connu au onzième siècle du mathématicien persan Al-Karaji et de bien d’autres plus tard, jusqu’à Tartaglia, Viète, et le père Marin Mersenne, ami de Fermat, qui s’est forcément intéressé aux propriétés étonnantes du triangle arithmétique (rappelons encore une fois qu’il a travaillé sur les carrés magiques), et il semble logique qu’il n’ait jamais souhaité le mentionner à personne (jusqu’à ce que Pascal lui-même en parle), s’il s’en est servi pour trouver une preuve à son théorème général, ce que le décodage effectué par Roland Franquart en 2009 semble confirmer. Pascal écrit son ''Traité'' ''[[w:Triangle_de_Pascal|Triangle arithmétique]]'' ''en 1654.'' Ayant connaissance de la publication Fermat lui écrit : ''<span style="color:blue">« [... ] je suis aussi bien que vous dans l'admiration que nos pensées s'ajustent si exactement qu'il semble qu’elles aient pris une même route et fait un même chemin : vos derniers traités du </span>[[w:Triangle_de_Pascal|Triangle arithmétique]] <span style="color:blue">et de son application en sont une preuve authentique [...]. </span>''Le fait qu'il se soit autant appliqué à coder sa note montre qu'il était certain de la justesse de sa preuve. Les premiers décodages de la note révèlent un codage magistral, quant à la fin de l'explication de Roland Franquart nous ne saurions dire si elle est tout à fait correcte. Le début en tout cas est fort pertinent mais même ce début (et ''surtout'' lui) nos mathématiciens ne veulent pas en entendre parler. <span style="color:blue">{{sourire}} La preuve figure ci-dessous.
Pendant plus de trois siècles les scientifiques ont planché sur le problème sans jamais s'approcher d'une preuve générale – bien qu'en prouvant la conjecture pour la moitié des ''n'' entiers, c'est-à-dire la moitié de l'infini. L'autre moitié de l'infini, c'est-à-dire l'infini, semblait rester toujours aussi inaccessible. C'était comme si, croyant être arrivé au milieu de chemin, on s'apercevait qu'on avait tourné en rond et que tout était à refaire. Cette énigme était véritablement diabolique.
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=== Trois versions différentes de l'''Arithmetica'' : premiers codages ===
Il existe au moins trois versions différentes de lʼ''Arithmetica'' de 1670, où la célèbre note énonçant le grand théorème de Fermat se présente sous trois aspects différents. C’est grâce à Roland Franquart (je vous recommande vivement la visite de [http://franquart.fr/ son site], où il explique en détail ses trouvailles) qui en 2009 me fit part de ses recherches à partir de l’''Observation'' présente sur l’''Arithmetica'' de la Bibliothèque de Lyon, que ma passion pour cette énigme (dont le traitement qu’on en faisait avait de quoi choquer) en fut encore accrue. En juin 2017, j'ai passé de longues heures à chercher une bizarrerie qui aurait pu figurer dans une autre version de l'édition de 1670, sur le mot (''detexi'') où Roland avait déjà trouvé (entre autres choses) la bizarrerie du '''''t''''' surchargé (image en haut de page). Je me disais que si Fermat avait voulu mettre toutes les chances de son côté pour que ses seuls suiveurs trouvent son explication, il n'aurait rien risqué à utiliser ce stratagème une seconde fois. Mais, honnêtement, je ne croyais pas du tout possible de trouver une troisième version, c'aurait été trop beau. Si je me suis à ce point obstiné c'est qu'au fond de moi je voulais trouver un « argument massue ». Et finalement je la trouvai, cette deuxième grosse bizarrerie ; sur l'exemplaire de l'Université de Rome (detex'''''ṡ'''''). Je n'en crus pas mes yeux, cette découverte fut si inattendue qu'elle me laissa sidéré (le coup de massue, c'est moi qui le reçus !). Pendant longtemps je restai dans cet état, ne pouvant en croire mes yeux. Personnellement trop impliqué, il m'était difficile de réfléchir calmement à la nouvelle situation. Cette bizarrerie supplémentaire, ça “paraissait trop‘’, c'était “trop gros‘’, même venant du très facétieux Pierre de Fermat. Peut-être n'avais-je pas assez considéré qu'il travaillait à une époque sans internet. Je mis presque deux ans à trouver la solution, qui est d'une clarté aveuglante quand on l'a trouvée. Une fois sur le site, monter le pointeur tout en haut, une bande horizontale noire apparaît, y taper le N° de page 141, puis agrandir l’image (signe + en bas à droite).
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<br />Sur cette version le mot est correctement écrit, seul le point final est surchargé, comme sur les deux autres versions. Jamais on n’aura vu un « livre entier [consacré à la science des nombres] » dont le prologue (Diophante) est plus long que le livre lui-même (Fermat), 340 pages contre une quinzaine. La preuve « assurément dévoilée » par Pierre de Fermat au XVII<sup>e</sup> siècle, si elle est très courte, est d’une difficulté extraordinaire. Le décryptage par R.F. montre que Fermat s’est élégamment servi des propriétés du ''triangle arithmétique'' “de Pascal”, connu depuis le X<sup>e</sup> siècle. Les codages effectués dans le texte latin, avant d’être cassés, '''recouvrent,''' cachent, dissimulent (verbe latin : ''tego, is, ere, '''texi''', tectum'') un début d'explication.
=== Codages communs aux trois versions ===
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(CM) Dans le libellé de son ''OBSERVATIO'' la présence répétée des lettres ''u'' et ''t'' dans les déclinaisons et variantes du mot ''quadratus'' (nombre carré) a certainement guidé son choix dans l’utilisation de ces deux lettres pour organiser son texte de manière à ce que les codages donnent l’impression d’une volonté délibérée aux yeux du lecteur averti. Il est amusant de noter que l'expression ''quadratoquadratum in duos quadratoquadratos (carré de carré en deux carrés de carré)'' fait référence au cas ''n=4'', dont la preuve apparaît dans le seul théorème que Fermat ait complètement explicité. C’est sûrement ici une réelle coïncidence, qui tombe à point.
Au cours des siècles, de nombreux savants ont douté que Fermat eût réellement une preuve. Après la découverte d’[[w:Andrew_Wiles|Andrew Wiles]] en 1994 – une preuve d’une complexité formidable – ils purent encore moins l’imaginer, eux-mêmes ayant douté plus de trois siècles. D’autres, plus fins, ne savent qu'en penser. C'est le cas par exemple à notre époque de [[w:Jacques_Roubaud|Jacques Roubaud]] ou de [[w:Catherine_Goldstein|Catherine Goldstein]], spécialiste des travaux de Pierre de Fermat.<blockquote>Quand on considère la possible existence d’un codage de Fermat, celui décrit par Roland Franquart semble tellement palpable qu’on se dit : « Ce ne peuvent être des coïncidences, c'est juste un exploit magistral. » Dans le seul libellé de son observation on trouve 9 curiosités. Après un décodage on en trouve 4 autres, littéralement stupéfiantes. Ensuite dans sa correspondance on en trouve de nouvelles. Citons Fermat à propos d'un autre de ses théorèmes : ''« Je ne puis ici donner la démonstration, qui dépend de nombreux et abstrus mystères de la Science des nombres ; j’ai l’intention de consacrer à ce sujet un Livre entier et de faire accomplir ainsi à cette partie de l’Arithmétique des progrès étonnants au-delà des bornes anciennement connues. »'' (OBSERVATIO D.P. F. n° XVIII). Comme pour tous ses autres « théorèmes» (sauf pour un), qui plus tard furent tous démontrés, il ne livre pas sa démonstration à Digby. Il faudra attendre 175 ans pour en avoir une preuve (par Cauchy en 1813).</blockquote>
On connaît le rôle du psychanalyste, il ne s’agit pas de révéler à la personne (appelée à juste titre l’analysant) allongée sur le divan, quelques-unes des pensées inconscientes qu’il aurait pu découvrir chez elle au fil des séances. Ni de lui révéler les mécanismes en jeu. Il s’agit au contraire de laisser dire à la personne tout ce qui lui passe par la tête. De temps en temps il pourra lui dire quelques mots pour ouvrir une piste, donner un indice, mais jamais il ne lui dira ce qui est pour le moment inconscient chez elle, auquel l’esprit conscient, grâce à un filtre protecteur et nécessaire, n’a pas encore accès. Le psychanalyste est avant tout un psychologue, un ‘’honnête homme’’ (homme ou femme), intelligent, fin, empathique, et surtout ayant déjà fait un travail profond sur lui-même. Fermat n’était pas psychanalyste, il était avant tout un grand mathématicien, intrépide, et surtout l’''honnête homme'' par excellence. Il n’avait pas de patients, seulement des correspondants pas du tout patients. Très peu de ses lecteurs (Pascal, Mersenne), surent l’entendre. Il a agi avec les mathématiciens de son époque et ceux qui les suivraient à la manière d’un psychanalyste persévérant et sagace, qui aurait eu affaire à des cohortes de patients (non patients) venus là sans même croire à la psychanalyse, refusant de quitter leur chaise pour le divan. Connaissant leur manque de confiance, sans pour autant leur mâcher le travail, il devait leur fournir un maximum d’indices, espérant qu’un jour (quand ?) un de ces professionnels, las de se battre contre des moulins à vents, sorte enfin de son apathie, s'allonge sur le divan et puisse entendre quelques mots-clefs.
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<span style="color:blue">« j’immortalisai anxiétés de dénombrement »</span>, mais des esprits chagrins et jaloux de Fermat, à l’instar de Descartes, auraient encore moqué ce ‘Gascon’, ce ‘fanfaron’ {{;)}}
Le mathématicien John Wallis n’appréciait pas les manières de Pierre de Fermat, qui prenait un malin plaisir à défier les Anglais et s’étonnait du mépris de Wallis envers ses défis. Retirons une aile à Wallis, ce qui nous donne Walis. Il suffit de remplacer le ‘’i’’ par un ‘’e’’ (le son ‘’i’’ correspond en anglais à la lettre ‘’e’’ → Welis, qui est l’anagramme de Wiles, ce savant qui trouva une preuve au Grand théorème et dit énormément douter que Fermat, lui, ait pu avoir sa preuve. L’anecdote est d'autant plus savoureuse que les astuces formidables de Pierre de Fermat ont pu être retrouvées par le Français Franquart (Roland) (On dirait des Rugissements). Impossible en revanche de trouver la moindre anagramme à ‘’''Roland Franquart''’’, mais en remplaçant les 3 “R” par 3 “E” on trouve <span style="color:blue">Adonné Quête ALFA (Agence de Lutte contre la Fraude dans les Arts {{sourire}}).
* L'anagramme <span style="color:blue">Tendre caresse</span> témoigne, ration-elle-ment, de la considération de ''René Descartes'' pour les scientifiques qu’il jalousait.
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