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#<math>G=\{P\in\R_2[X]\mid2P(1)+6P(2)=0\}=\{P\in\R_2[X]\mid P(1)+3P(2)=0\}</math>.
#<math>P=aX^2+bX+c\in G\Leftrightarrow a+b+c+3(4a+2b+c)=0\Leftrightarrow13a+7b+4c=0</math> donc une base de <math>G</math> est (par exemple) <math>(4X^2-13,4X-7)</math>.
}}
==Exercice 1-16==
{{Wikipédia|Algorithme de Gram-Schmidt}}
Pour chaque espace euclidien <math>E</math> muni d'un produit scalaire <math>\varphi</math> :
*appliquer la méthode de Gram-Schmidt à la famille libre <math>F</math> afin de produire une base orthonormée pour l'espace vectoriel engendré <math>\operatorname{Vect}(F)</math> ;
*calculer la projection orthogonale de <math>v\in E</math> sur <math>\operatorname{Vect}(F)</math> ;
*donner les équations de <math>\operatorname{Vect}(F)</math>.
#<math>E=\R^3</math>, <math>\varphi</math> le produit scalaire usuel, <math>F=((1,0,-1),(1,-1,0))</math> et <math>v=(1,1,1)</math>.
#<math>E=\R^4</math>, <math>\varphi</math> le produit scalaire usuel, <math>F= ((1,1,0,0),(1,0,-1,1),(0,1,1,1))</math>, <math>v=(1,1,1,1)</math>.
#<math>E=\R^3</math>, <math>\varphi(x,y)=3x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2+3x_3y_3</math>, <math>F=((1,0,0),(0,1,0))</math> et <math>v=(0,0,1)</math>.
#<math>E=\R^3[X]</math>, <math>\varphi(P,Q)=\int_{-1}^1P(X)Q(X)\,\mathrm dX</math>, <math>F=(1,X,X^2)</math>, <math>v=X^3</math>.
#<math>E=\R^3[X]</math>, <math>\varphi(P,Q)=\int_0^ 1P(X)Q(X)\,\mathrm dX</math>, <math>F=(1,X,X^2)</math>, <math>v=X^3</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>e_1=(1,0,-1)/\sqrt2</math>.<br><math>e_2=\frac u{\|u\|}</math> avec <math>u=(1,-1,0)-\frac12\varphi((1,-1,0),(1,0,-1))(1,0,-1)=(1,-1,0)-(1/2,0,-1/2)=(1/2,-1,1/2)</math> donc <math>\|u\|=\sqrt{3/2}</math> et <math>e_2=\sqrt{2/3}(1/2,-1,1/2)=\frac1{\sqrt6}(1,-2,1)</math>.<br><math>p(v)=0</math> car <math>v\perp F</math>.<br>Le plan <math>\operatorname{Vect}(F)=v^\bot</math> a pour équation <math>x+y+z=0</math>.
#<math>e_1=(1,1,0,0)/\sqrt2</math>.<br><math>e_2=\frac u{\|u\|}</math> avec <math>u=(1,0,-1,1)-\frac12\varphi((1,0,-1,1),(1,1,0,0))(1,1,0,0)=(1,0,-1,1)-\frac12(1,1,0,0)=(1/2,-1/2,-1,1)</math> donc <math>\|u\|=\sqrt{5/2}</math> et <math>e_2=\sqrt{2/5}(1/2,-1/2,-1,1)=\frac1{\sqrt{10}}(1,-1,-2,2)</math>.<br><math>e_3=\frac w{\|w\|}</math> avec <math>w=</math><br><math>(0,1,1,1)-\frac12\varphi((0,1,1,1),(1,1,0,0))(1,1,0,0)-\frac1{10}\varphi((0,1,1,1),(1,-1,-2,2))(1,-1,-2,2)=</math><br><math>(-2/5,2/5,4/5,6/5)=\frac25(-1,1,2,3)</math> donc <math>\|w\|=\frac25\sqrt{15}</math> et <math>e_3=\frac1{\sqrt{15}}(-1,1,2,3)</math>.<br><math>p(v)=\varphi(v,e_1)e_1+\varphi(v,e_2)e_2+\varphi(v,e_3)e_3=(1,1,0,0)+\frac13(-1,1,2,3)=(2/3,4/3,2/3,1)</math>.<br>L'hyperplan <math>\operatorname{Vect}(F)</math> a pour équation <math>0=\begin{vmatrix}1&1&0&x\\1&0&1&y\\0&-1&1&z\\0&1&1&t\end{vmatrix}=2(x-y+z)</math>, ou encore : <math>y=x+z</math> (effectivement : les trois vecteurs de <math>F</math> vérifient cette équation, donc toute combinaison linéaire de ces trois vecteurs la vérifie aussi).
#Vérifions d'abord que la forme bilinéaire symétrique <math>\varphi</math> est bien définie positive, et cela sans même appliquer l'algorithme de Gauss : pour tout <math>x\in\R^3</math> non nul,<br><math>\varphi(x,x)= 3x_1^2-2x_1x_2+3x_2^2+3x_3^2=(x_1-x_2)^2+2x_1^2+2x_2^2+3x_3^2>0</math>.<br><math>e_1=(1,0,0)/\sqrt{\varphi((1,0,0),(1,0,0)}=(1/\sqrt3,0,0)</math>.<br><math>e_2=\frac u{\sqrt{\varphi(u,u)}}</math> avec u<math>=(0,1,0)-\frac13\varphi((0,1,0),(1,0,0))(1,0,0)=(1/3,1,0)</math> donc <math>\varphi(u,u)=1/3-2/3+3=8/3</math> et <math>e_2=\sqrt{\frac38}(1/3,1,0)=\frac1{2\sqrt6}(1,3,0)</math>.<br><math>p(v)=0</math> car <math>v\perp F</math> (car <math>\varphi</math> ne contient pas de terme <math>x_1y_3</math> ni <math>x_2y_3</math>).<br>Le plan <math>\operatorname{Vect}(F)=v^\bot</math> a pour équation 0<math>=\varphi((x_1,x_2,x_3),v)=3x_3</math>, ou encore : <math>x_3=0</math> (effectivement : les deux vecteurs de <math>F</math> vérifient cette équation, donc toute combinaison linéaire de ces trois vecteurs la vérifie aussi).
#<math>e_1=1/\sqrt2</math>.<br><math>e_2=\frac u{\|u\|}</math> avec <math>u=X-\frac12\int_{-1}^1x\,\mathrm dx=X</math> donc <math>\|u\|=\sqrt{2/3}</math> et <math>e_2=\sqrt{3/2}X</math>.<br><math>e_3=\frac w{\|w\|}</math> avec <math>w=X^2-\frac12\int_{-1}^1x^2\,\mathrm dx-X\frac32\int_{-1}^1x^3\,\mathrm dx=
X^2-\frac13</math> donc<br><math>\|w\|=\sqrt{\int_{-1}^1(x^4-(2/3)x^2+1/9)\,\mathrm dx}=\sqrt{\int_{-1}^1(x^4-(2/3)x^2+1/9)\,\mathrm dx}=\sqrt{\frac8{45}}</math> et<br><math>e_3=\sqrt{\frac{45}8}(X^2-\frac13)=\sqrt{\frac58}(3X^2-1)</math>.<br><math>p(v)=\varphi(v,e_1)e_1+\varphi(v,e_2)e_2+\varphi(v,e_3)e_3</math><br><math>=\frac12\int_{-1}^1x^3\,\mathrm dx+\frac32X\int_{-1}^1x^4\,\mathrm dx+\frac58(3X^2-1)\int_{-1}^1x^3(3x^2-1)\,\mathrm dx=\frac35X</math>.<br>Dans cette question et la suivante, l'équation de l'hyperplan <math>\operatorname{Vect}(F)</math> est simplement <math>t=0</math>, en notant <math>(x,y,z,t)</math> les coordonnées d'un polynôme de <math>\R_3[X]</math> dans la base canonique <math>(1,X,X^2,X^3)</math>.
#<math>e_1=1</math>.<br><math>e_2=\frac u{\|u\|}</math> avec <math>u=X-\int_0^1x\,\mathrm dx=X-1/2</math> donc<br><math>\|u\|^2=\int_0^1(x^2-x+1/4)\,\mathrm dx=1/3-1/2+1/4=1/12</math> et <math>e_2=(X-1/2)\sqrt{12}=(2X-1)\sqrt3</math>.<br><math>e_3=\frac w{\|w\|}</math> avec <math>w=X^2-\frac13-3(2X-1)\int_0^1(2x^3-x^2)\,\mathrm dx=X^2-X+\frac16</math> donc<br><math>\|w\|^2=\int_0^1(x^4-2x^3+4x^2/3-x/3+1/36)\,\mathrm dx=1/5-1/2+4/9-1/6+1/36=1/180</math> et<br><math>e_3=\sqrt{180}(X^2-X+1/6)=\sqrt5(6X^2-6X+1)</math>.<br><math>p(v)=\varphi(v,e_1)e_1+\varphi(v,e_2)e_2+\varphi(v,e_3)e_3</math><br><math>=\int_0^1x^3\,\mathrm dx+3(2X-1)\int_0^1(2x^4-x^3)\,\mathrm dx+5(6X^2-6X+1)\int_0^1x^3(6x^2-x+1)\,\mathrm dx</math><br><math>=1/4+(6X-3)3/20+(6X^2-6X+1)/4=(30X^2-12X+1)/20</math>.
}}
==Exercice 1-17==
#Trouver une base orthonormée de <math>E=\R_3[X]</math> pour le produit scalaire <math>\varphi(P,Q)=\int_{-1}^1P(x)Q(x)\,\mathrm dx</math>.
#Pour tout réel <math>t</math>, montrer qu'il existe un polynôme <math>Q_t</math> tel que <math>\forall P\in E\quad P(t)=\varphi(P,Q_t)</math>. Déterminer explicitement <math>Q_t</math> en fonction de <math>t</math>.
{{Solution|contenu=
#D'après l'exercice précédent (question 4), <math>e_1=1/\sqrt2</math>, <math>e_2=\sqrt{3/2}X</math>, <math>e_3=\sqrt{\frac58}(3X^2-1)</math> et le projeté de <math>X^3</math> sur <math>\operatorname{Vect}(e_1,e_2,e_3)</math> est <math>3X/5</math> donc <math>e_4=\frac z{\|z\|}</math> avec <math>z=X^3-3X/5</math> donc <math>\|z\|^2=\int_{-1}^1(x^6-6x^4/5+9x^2/25)\,\mathrm dx=2(1/7-6/25+3/25)=8/(7\times25)</math> et <math>e_4=\sqrt{\frac78}(5X^3-3X)</math>.
#Pour tout <math>t\in\R</math>, l'application <math>P\mapsto P(t)</math> est une forme linéaire sur <math>E</math> donc d'après le [[w:Théorème de représentation de Riesz (Fréchet-Riesz)|théorème de représentation de Riesz]], elle est de la forme <math>P\mapsto\varphi(P,Q_t)</math> pour un certain <math>Q_t\in E</math> (unique).<br><math>Q_t=\sum_{i=1}^4\varphi(e_i,Q_t)e_i=\sum_{i=1}^4e_i(t)e_i=\frac12+\frac32tX+\frac58(3t^2-1)(3X^2-1)+\frac78(5t^3-3t)(5X^3-3X)</math><br><math>=\frac{35}8(5t^3-3t)X^3+\frac{15}8(3t^2-1)X^2+\frac{15}8(-7t^3+5t)X+\frac38(-5t^2+3)</math>.
}}
==Exercice 1-18==
Trouver une base orthonormée de <math>E=\R_3[X]</math> pour le produit scalaire <math>\varphi(P,Q)=\sum_{i=0}^3P(i)Q(i)</math>.
{{Solution|contenu=
<math>e_1=\frac1{\|1\|}=\frac12</math>.<br><math>e_2=\frac u{\|u\|}</math> avec <math>u=X-\varphi(e_1,X)e_1=X-3/2</math> donc <math>\|u\|^2=(-3/2)^2+(-1/2)^2+(1/2)^2+(3/2)^2=5</math> et <math>e_2=\frac{X-3/2}{\sqrt5}</math>.<br><math>e_3=\frac v{\|v\|}</math> avec <math>v=X^2-\varphi(e_1,X^2)e_1-\varphi(e_2,X^2)e_2</math><br><math>=X^2-\frac14(1+4+9)-\frac15(-1/2+2+27/2)(X-3/2)=X^2-3X+1</math> donc<br><math>\|v\|^2=1^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2=4</math> et <math>e_3=\frac12(X^2-3X+1)</math>.<br><math>e_4=\frac w{\|w\|}</math> avec <math>w=X^3-\varphi(e_1,X^3)e_1-\varphi(e_2,X^3)e_2-\varphi(e_3,X^3)e_3=</math><br><math>X^3-\frac14(1+8+27)-\frac15(-1/2+4+81/2)(X-3/2)-\frac14(-1-8+27)(X^2-3X+1)=</math><br><math>X^3-9-\frac{44}5(X-3/2)-\frac92(X^2-3X+1)=
X^3-9X^2/2+47X/10-3/10</math> donc<br><math>\|w\|^2=(-3/10)^2+(9/10)^2+(-9/10)^2+(3/10)^2=9/5</math> et<br><math>e_4=\frac{\sqrt5}3(X^3-9X^2/2+47X/10-3/10)</math>.
}}
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