Espace euclidien/Exercices/Espaces euclidiens

Exercice 1-1

L'application Q définie sur $\mathbb {R} ^{3}$ par

$Q{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=3x^{2}-5y^{2}+3xz$

est-elle une forme quadratique ?

Solution

Oui car $Q(V)=^{\operatorname {t} }\!V{\begin{pmatrix}3&0&3/2\\0&-5&0\\3/2&0&0\end{pmatrix}}V$.

 

Exercice 1-2

Soit $A\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )$ vérifiant : $\forall X\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} )\quad ^{\operatorname {t} }\!XAX=0$.

Que dire de $A$ ?

Solution

La forme bilinéaire symétrique associée à cette forme quadratique est nulle, or sa matrice est ${\frac {A+^{\operatorname {t} }\!A}{2}}$. Donc $A$ est antisymétrique.

 

Exercice 1-3

Soit $A=(a_{i,j})\in \mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )$.

1. Montrer que $\left|\sum _{i,j}a_{i,j}\right|\leq n$ et $\sum _{i,j}|a_{i,j}|\leq n^{3/2}$.
2. Étudier les cas d'égalité si $n>1$.

Solution

1. • Soit $\mathbf {1} _{n}\in \mathbb {R} ^{n}$ le vecteur dont toutes les composantes sont égales à $1$. Dans $\mathbb {R} ^{n}$ muni de sa structure euclidienne canonique, on a $\left|\sum _{i,j}a_{i,j}\right|=|\langle \mathbf {1} _{n}\mid A(\mathbf {1} _{n})\rangle |\leq \|\mathbf {1} _{n}\|\|A(\mathbf {1} _{n})\|=\|\mathbf {1} _{n}\|^{2}=n$.
   • Soit $B\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )$ la matrice dont toutes les composantes sont égales à $\pm 1$, les signes étant choisis de telle façon que $b_{j,i}a_{i,j}=|a_{i,j}|$. Dans $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )$ muni de sa structure euclidienne canonique, $\sum _{i,j}|a_{i,j}|=\langle B\mid A\rangle \leq \|B\|\|A\|={\sqrt {n^{2}}}{\sqrt {n}}=n^{3/2}$.
2. • $\left|\sum _{i,j}a_{i,j}\right|=n\Leftrightarrow A(\mathbf {1} _{n})=\pm \mathbf {1} _{n}$.
   • $\sum _{i,j}|a_{i,j}|=n^{3/2}\Leftrightarrow A=\pm {\frac {1}{\sqrt {n}}}B\Leftrightarrow$ tous les $|a_{i,j}|$ sont égaux à ${\frac {1}{\sqrt {n}}}$, n est pair, et $A$ (en plus d'être orthogonale) est symétrique.

 

Exercice 1-4

Soient $\alpha \in \mathbb {R} ^{*}$ et $v\in E\setminus \{0\}$. Soit $f:E\to E,\,x\mapsto x+\alpha \langle x\mid v\rangle v$.

Montrer que $f$ est autoadjoint, puis déterminer α pour que $f$ soit une isométrie.

Solution

$\langle f(x)\mid y\rangle =\langle x\mid y\rangle +\alpha \langle x\mid v\rangle \langle v\mid y\rangle =\langle x\mid y\rangle +\alpha \langle y\mid v\rangle \langle x\mid v\rangle =\langle x\mid f(y)\rangle$ donc $f$ est autoadjoint.

$f$ est donc une isométrie si et seulement si c'est une involution. $(f\circ f)(x)=f(x)+\alpha \langle f(x)\mid v\rangle v=x+\alpha \langle x\mid v\rangle v+\alpha \langle x+\alpha \langle x\mid v\rangle v\mid v\rangle v=x+\left(2+\alpha \|v\|^{2}\right)\alpha \langle x\mid v\rangle v$ donc $f\circ f=\mathrm {id} _{E}\Leftrightarrow \alpha =-2/\|v\|^{2}$.

 

Exercice 1-5

Soit $f\in \mathrm {L} (E)\setminus \{0\}$ vérifiant $\forall (x,y)\in E^{2}\quad x\perp y\Rightarrow f(x)\perp f(y)$.

Montrer que $f$ est une similitude vectorielle, c'est-à-dire le produit d'un élément de $\mathrm {O} (E)$ par un réel strictement positif.

Solution

Si $\|u\|=\|v\|$ alors $u+v\perp u-v$ donc $f(u)+f(v)\perp f(u)-f(v)$ donc $\|f(u)\|=\|f(v)\|$. Soit $\alpha$ la norme commune à tous les $f(u)$ pour $u$ unitaire. Alors, $\alpha >0$ et ${\frac {1}{\alpha }}f\in \mathrm {O} (E)$.

 

Exercice 1-6

Soient $E=\mathbb {R} _{2}[X]$ et $\phi :E^{2}\to \mathbb {R} ,\,(P,Q)\mapsto P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P(2)Q(2)$.

1. Montrer que $\phi$ est un produit scalaire sur $E$.
2. Déterminer le plan $G=(X^{2}+X)^{\bot }$.
3. Déterminer une base de ce plan.

Solution

1. Le seul point non immédiat est : $\phi (P,P)=0\Rightarrow P=0$. Il est dû au fait que le seul polynôme de degré $\leq 2$ qui admet 3 racines (au moins) est le polynôme nul.
2. $G=\{P\in \mathbb {R} _{2}[X]\mid 2P(1)+6P(2)=0\}=\{P\in \mathbb {R} _{2}[X]\mid P(1)+3P(2)=0\}$.
3. $P=aX^{2}+bX+c\in G\Leftrightarrow a+b+c+3(4a+2b+c)=0\Leftrightarrow 13a+7b+4c=0$ donc une base de $G$ est (par exemple) $(4X^{2}-13,4X-7)$.

 

On munit $E=\mathbb {R} _{2}[X]$ du produit scalaire canonique ($\langle P_{1},P_{2}\rangle =a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}$ pour $P_{i}=a_{i}+b_{i}X+c_{i}X^{2}$). Soit $F=(X-1)\mathbb {R} _{1}[X]$.

1. Déterminer $F^{\perp }$.
2. Quel est le projeté orthogonal de $X^{2}+1$ sur $F$ ?

Solution

1. Soit $Q=a+bX+cX^{2}$. $F=\mathrm {Vect} (X-1,X(X-1))$ donc
   $Q\in F^{\perp }\Leftrightarrow Q\perp X-1,X^{2}-X\Leftrightarrow -a+b=-b+c=0\Leftrightarrow a=b=c$, donc
   $F^{\perp }=\mathbb {R} (X^{2}+X+1)$.
2. Le projeté $P$ de $X^{2}+1$ sur $F$ doit vérifier :
   $P-(X^{2}+1)\in F^{\perp },P\in F$, c'est-à-dire
   $P=X^{2}+1+\lambda (X^{2}+X+1)$ avec $0=P(1)=2+3\lambda$, c'est-à-dire
   $P=X^{2}+1-{\frac {2}{3}}(X^{2}+X+1)=(X^{2}-2X+1)/3$.

 

Exercice 1-7

Soient $E$ un espace euclidien et $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm {GL} (E)$.

Définir sur $E$ un nouveau produit scalaire, de telle façon que son groupe orthogonal contienne $G$.

Solution

On pose $f(x,y)={\frac {1}{\operatorname {card} (G)}}\sum _{g\in G}\langle g(x)|g(y)\rangle$.

Par construction, $f$ est bilinéaire, symétrique et définie positive.

Pour tout $h\in G$, $f(h(x),h(y))=f(x,y)$ parce que l'application $G\to G,\,g\mapsto g\circ h$ est bijective.

 

Exercice 1-8

Soit $E$ un espace euclidien de dimension n. On notera ${\mathcal {Q}}^{++}(E)$ l'ensemble des formes quadratiques définies positives sur $E$ et ${\mathcal {S}}^{++}(E)$ l'ensemble des formes bilinéaires symétriques définies positives sur $E$. Si $q\in {\mathcal {Q}}(E)$, on pose $N(q)=\sup _{\|x\|=1}|q(x)|$.

1. Vérifier que $N$ est une norme sur ${\mathcal {Q}}(E)$.
2. Soit $q_{0}\in {\mathcal {Q}}^{++}(E)$. Montrer que $m:=\inf _{\|x\|=1}q_{0}(x)>0$ puis que $\forall q\in {\mathcal {Q}}(E)\quad N(q-q_{0})<m\Rightarrow q\in {\mathcal {Q}}^{++}(E)$.
3. En déduire que ${\mathcal {Q}}^{++}(E)$ est un ouvert de ${\mathcal {Q}}(E)$, donc que ${\mathcal {S}}^{++}(E)$ est un ouvert de ${\mathcal {S}}(E)$.

Solution

1. Immédiat, par composition de l'application « restriction à la sphère unité $S$ » et de la norme sup usuelle, définie sur l'ensemble des applications de $S$ dans $\mathbb {R}$.
2. $m$ est atteint (car $S$ est compacte) donc $m>0$.
3. Si $M:=N(q-q_{0})<m$ alors $\|x\|=1\Rightarrow q(x)\geq q_{0}(x)-M\geq m-M>0$ donc $q\in {\mathcal {Q}}^{++}(E)$.
4. Par conséquent, ${\mathcal {Q}}^{++}(E)$ est un ouvert de ${\mathcal {Q}}(E)$ (pour la norme $N$ donc pour n'importe quelle norme sur ${\mathcal {Q}}(E)$ puisque toutes sont équivalentes). On en déduit que ${\mathcal {S}}^{++}(E)$ est un ouvert de ${\mathcal {S}}(E)$ (puisque l'isomorphisme canonique de ${\mathcal {S}}(E)$ dans ${\mathcal {Q}}(E)$ envoie ${\mathcal {S}}^{++}(E)$ sur ${\mathcal {Q}}^{++}(E)$).

 

Exercice 1-9

1. Soient $u\in {\mathcal {S}}^{+}(E)$ et $\lambda \in \mathbb {R} _{+}$. Montrer que $\ker(u-\lambda \mathrm {id} _{E})=\ker(u^{p}-\lambda ^{p}\mathrm {id} _{E})$.
2. Soient $u\in {\mathcal {S}}(E)$ et $\lambda \in \mathbb {R}$. Montrer que $\ker(u-\lambda \mathrm {id} _{E})=\ker(u^{2p+1}-\lambda ^{2p+1}\mathrm {id} _{E})$.
3. Soient $A,B\in {\mathcal {S}}_{n}$. Montrer que $A^{2k+1}=B^{2k+1}\Rightarrow A=B$.
4. Soient $A,B\in {\mathcal {S}}_{n}^{+}$. Montrer que $A^{k}=B^{k}\Rightarrow A=B$.

Solution

1. Soient $\lambda _{1}<\dots <\lambda _{m}$ les valeurs propres de $u$ et $E=\oplus _{i=1}^{m}E_{i}$ la décomposition correspondante en sous-espaces propres. Alors, les valeurs propres de $u^{p}$ sont $\lambda _{1}^{p}<\dots <\lambda _{m}^{p}$ et les sous-espaces propres sont les mêmes.
2. Même raisonnement.
3. Conséquence immédiate de 2.
4. Conséquence immédiate de 1.

 

Exercice 1-10

Soit $(E,\langle \ ,\ \rangle )$ un espace euclidien (non réduit au vecteur nul). On pose

$\varphi (x,y)=a\langle x,x\rangle +b\langle x,y\rangle +c\langle y,y\rangle$.

Pour quelles valeurs de $a,b,c\in \mathbb {R}$ $\varphi$ est-elle un produit scalaire sur $E$ ?

Solution

Pour que $\varphi$ soit bilinéaire il faut en particulier que $\forall x\in E\quad \varphi (x,0)=\varphi (0,x)=0$ c'est-à-dire $a\|x\|^{2}=c\|x\|^{2}$, même lorsque $\|x\|^{2}\neq 0$ c'est-à-dire même lorsque $x\neq 0$. Il faut donc que $a=c=0$. Moyennant quoi, $\varphi =b\langle \ ,\ \rangle$ donc $\varphi$ est bilinéaire symétrique, et c'est un produit scalaire si et seulement si (de plus) $b>0$.

 

Exercice 1-11

Dans les deux cas suivants, montrer que l'application $\phi :E^{2}\to \mathbb {R}$ est un produit scalaire sur $E$ et déterminer la norme euclidienne associée.

1. $E=\{P\in \mathbb {R} _{n}[X]\mid P(0)=P(1)=0\}$ et $\forall (P,Q)\in E^{2}\quad \phi (P,Q)=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(P(t)Q''(t)+P''(t)Q(t)\right)\,\mathrm {d} t$ ;
2. $E=\mathbb {R} _{2}[X]$ et $\forall (P,Q)\in E^{2}\quad \phi (P,Q)=P(0)Q(0)+P'(0)Q'(0)+P''(0)Q''(0)$.

Solution

Dans les deux cas, $\phi$ est évidemment une forme bilinéaire symétrique sur $E$.

1. $\phi (P,P)=-\int _{0}^{1}PP''=\int _{0}^{1}{P'}^{2}>0$ pour tout $P\in E$ non nul, donc $\phi$ est un produit scalaire sur $E$ et la norme euclidienne associée est $P\mapsto {\sqrt {\int _{0}^{1}{P'}^{2}}}$.
2. $\phi (P,P)=P(0)^{2}+P'(0)^{2}+P''(0)^{2}>0$ pour tout $P\in \mathbb {R} _{2}[X]$ non nul, donc $\phi$ est un produit scalaire sur $\mathbb {R} _{2}[X]$ et la norme euclidienne associée est $P\mapsto {\sqrt {P(0)^{2}+P'(0)^{2}+P''(0)^{2}}}$.

 

Exercice 1-12

1. À l'aide du produit scalaire $\phi$ défini à la question 1 de l'exercice 1-10, montrer que

   $\forall (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})\in \mathbb {R} ^{4}\quad (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{1}+x_{1}y_{2}+2x_{2}y_{2})^{2}\leq (x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2})(y_{1}^{2}+2y_{1}y_{2}+2y_{2}^{2})$.

2. Montrer que pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$ :
   1. $\sum _{k=1}^{n}k{\sqrt {k}}\leq {\dfrac {n(n+1){\sqrt {2n+1}}}{2{\sqrt {3}}}}$ ;
   2. $\forall (x_{k})_{1\leq k\leq n}\in {\mathbb {R} _{+}^{*}}^{n}\quad \left(\sum _{k=1}^{n}{\dfrac {1}{x_{k}}}\right)\sum _{k=1}^{n}x_{k}\geq n^{2}$.

Solution

Il s'agit simplement de l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

1. pour $\phi$ ;
2. pour le produit scalaire canonique sur $\mathbb {R} ^{n}$ et les deux vecteurs :
   1. $(1,2,\dots ,n)$ et $({\sqrt {1}},{\sqrt {2}},\dots ,{\sqrt {n}})$, sachant que $\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$ et $\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}$,
   2. $(1/{\sqrt {x_{1}}},1/{\sqrt {x_{2}}},\dots ,1/{\sqrt {x_{n}}})$ et $({\sqrt {x_{1}}},{\sqrt {x_{2}}},\dots ,{\sqrt {x_{n}}})$.

 

Exercice 1-13

Pour $A\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )$, on pose $N(A)={\sqrt {\operatorname {Tr} (^{t}AA)}}$. Montrer que :

1. $N$ est une norme associée à un produit scalaire ;
2. cette norme est matricielle, c'est-à-dire vérifie $N(AB)\leq N(A)N(B)$ (pour toutes matrices $A$ et $B$ de $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )$).

Solution

1. L'application $(A,B)\mapsto \operatorname {Tr} (^{t}AB)$ étant évidemment un produit scalaire, $N$ est la norme euclidienne associée (c'est en fait — à isomorphisme près — la norme euclidienne canonique sur $\mathbb {R} ^{n^{2}}$).
2. $N(AB)^{2}=\sum _{1\leq i,j\leq n}c_{i,j}^{2}\$avec\$c_{i,j}^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}\right)^{2}\leq \sum _{k=1}^{n}a_{i,k}^{2}\sum _{\ell =1}^{n}b_{\ell ,j}^{2}$ (par Cauchy-Schwarz), si bien que

   $N(AB)^{2}\leq \sum _{1\leq i,j\leq n}\left(\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}^{2}\sum _{\ell =1}^{n}b_{\ell ,j}^{2}\right)=\sum _{1\leq i,k\leq n}a_{i,k}^{2}\sum _{1\leq \ell ,j\leq n}b_{\ell ,j}^{2}=N(A)^{2}N(B)^{2}$.

 

Exercice 1-14

Dans $\mathbb {R} ^{4}$ muni du produit scalaire usuel, on pose : $v_{1}=(1,2,-1,1)$, $v_{2}=(0,3,1,-1)$ et $F=\operatorname {Vect} (v_{1},v_{2})$.

Déterminer une base orthonormée de $F$ et un système d'équations de $F^{\bot }$.

Solution

$\|v_{1}\|={\sqrt {7}}$.

$v_{2}+\lambda v_{1}\perp v_{1}\Leftrightarrow 4+7\lambda =0$.

$\|v_{2}-(4/7)v_{1}\|=\|(-4,13,11,-11)\|/7={\sqrt {427}}/7$.

Une b.o.n. de $F$ est donc : $(v_{1}/{\sqrt {7}},(-4,13,11,-11)/{\sqrt {427}})$.

Par ailleurs, un système d'équations de $F^{\bot }$ est : $x+2y-z+t=0,\,3y+z-t=0$.

 

Exercice 1-15

Soient $(a_{i})_{1\leq i\leq n},(b_{i})_{1\leq i\leq n}\in \mathbb {R} ^{n}$, on pose $f(x)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i}x)^{2}$.

1. Montrer qu'il existe des réels $A,B,C$ (à déterminer) tels que $f(x)=Ax^{2}+Bx+C$.
2. Étudier le signe de $f$, calculer son discriminant, et en déduire les inégalités :
   1. $\left|\sum _{i}a_{i}b_{i}\right|\leq {\sqrt {\sum _{i}a_{i}^{2}}}\times {\sqrt {\sum _{i}b_{i}^{2}}}$ (Cauchy-Schwarz)
   2. ${\sqrt {\sum _{i}(a_{i}+b_{i})^{2}}}\leq {\sqrt {\sum _{i}a_{i}^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i}b_{i}^{2}}}$ (Minkowsky).

Solution

1. $f(x)=Ax^{2}+Bx+C$ pour $A=\sum b_{i}^{2}$, $B=2\sum a_{i}b_{i}$ et $C=\sum a_{i}^{2}$.
2. $f$ est constamment positive (comme somme de carrés) donc $B^{2}-4AC\leq 0$, c'est-à-dire $\left(\sum a_{i}b_{i}\right)\leq \sum b_{i}^{2}\sum a_{i}^{2}$, d'où Cauchy-Schwarz. On en déduit également que $B\leq 2{\sqrt {AC}}$, donc ${\sqrt {\sum _{i}(a_{i}+b_{i})^{2}}}=f(1)={\sqrt {A+B+C}}\leq {\sqrt {A}}+{\sqrt {C}}$, d'où Minkowsky.

 

Voir aussi

• « Endomorphismes des espaces euclidiens : 101 exercices corrigés », sur web.archive.org/web/20171117232552/http://mp.cpgedupuydelome.fr, 3 novembre 2017
• « Exercices corrigés - Espaces euclidiens : produit scalaire, norme, inégalité de Cauchy-Schwarz », sur bibmath.net