« Espace euclidien/Exercices/Projection et symétrie orthogonales » : différence entre les versions
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==Exercice 5-3==
On munit <math>E=\R_n[X]</math> du produit scalaire <math>\varphi(P,Q)=\int_0^1P(x)Q(x)\,\mathrm dx</math>. Soit <math>D\in E</math> un polynôme de
degré <math>d</math>, avec <math>0<d\le n</math>. Pour tout <math>P\in E</math>, on note <math>f(P)</math> le reste de la division euclidienne de <math>P</math> par <math>D</math>.
<!--On rappelle que par définition, c'est l'unique polynôme de degré <d tel que P-f(P) soit divisible par D-->
#Montrer que <math>f</math> est un projecteur de <math>E</math>. Déterminer son noyau et son image.
#On suppose que <math>d<n</math> et que <math>f</math> est une projection orthogonale. Montrer que pour tout <math>i\le n-d</math> et pour tout <math>j<d</math>, on a <math>\varphi(DX^i,X^j)=0</math>. En déduire que <math>\varphi(D,D)=0</math> et donc <math>D=0</math>.
#On suppose que <math>d=n</math>. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que <math>f</math> soit une projection orthogonale.
{{Solution|contenu=
#<math>f\circ f=f</math>, <math>\ker f=\operatorname{Vect}(D,XD,X^2D,\dots,X^{n-d}D)</math> (l'ensemble des polynômes divisibles par <math>D</math> et de degré <math>\le n</math>) et <math>\operatorname{im}f=\R_{d-1}[X]</math>.
# Par hypothèse, <math>\ker f\perp\operatorname{im}f</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] <math>\forall i\le n-d,\forall j<d\quad0=\varphi(X^iD,X^j)=\int_0^1x^{i+j}D(x)\,\mathrm dx</math> donc <math>\forall k<n\quad\int_0^1x^kD(x)\,\mathrm dx=0</math>, autrement dit <math>D\perp\R_{n-1}[X]</math>. En particulier (si <math>d<n</math>) <math>\varphi(D,D)=0</math> donc <math>D=0</math> (ce qui est absurde puisque par hypothèse, <math>D</math> est de degré <math>d>0</math> ; donc dans le cas <math>d<n</math>, <math>f</math> n'est jamais une projection orthogonale).
# Si <math>d=n</math>, les calculs précédent montrent que <math>f</math> est une projection orthogonale si et seulement si <math>\forall k<n\quad\int_0^1x^kD(x)\,\mathrm dx=0</math>.
}}
==Exercice 5-4==
{{Solution|contenu=
}}
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