Espace euclidien/Exercices/Projection et symétrie orthogonales

Projection et symétrie orthogonales
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Exercices no5
Leçon : Espace euclidien

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Orthonormalisation de Gram-Schmidt
Exo suiv. :Adjoints et réduction spectrale
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Espace euclidien/Exercices/Projection et symétrie orthogonales
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Exercice 5-1

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Soit   une base orthonormée d'un espace vectoriel euclidien  . Soit   l'endomorphisme dont la matrice dans la base   est

 .

Montrer que   est une projection orthogonale et préciser sa « base »  .

Même question pour

 .

Exercice 5-2

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Soient   un espace euclidien et   un endomorphisme de  .

  1. Démontrer que pour tout polynôme  ,  . En déduire que   et   ont même polynôme minimal. Prouver que   est diagonalisable si et seulement si   l'est.
  2. On rappelle (cf. w:Opérateur adjoint#Orthogonalité) que pour tout  ,  . Soient   et   deux sous-espaces supplémentaires dans   et   la projection sur   parallèlement à  .
    1. Montrer, à l'aide du rappel et de la question 1, que   est la projection sur   parallèlement à  .
    2. En déduire que   si et seulement si   et   sont orthogonaux.
  3.   est dans cette question l'espace   muni de son produit scalaire usuel. Soient   et   l'opérateur de projection orthogonale sur  . Donner la matrice   de   dans la base canonique de  . Quelle propriété possède   et pouvait-on la prévoir ?

Exercice 5-3

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On munit   du produit scalaire  . Soit   un polynôme de degré  , avec  . Pour tout  , on note   le reste de la division euclidienne de   par  .

  1. Montrer que   est un projecteur de  . Déterminer son noyau et son image.
  2. On suppose que   et que   est une projection orthogonale. Montrer que pour tout   et pour tout  , on a  . En déduire que   et donc  .
  3. On suppose que  . Donner une condition nécessaire et suffisante pour que   soit une projection orthogonale.

Exercice 5-4

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Soit   muni du produit scalaire  . Soient

 .
  1. Montrer que   est une base orthonormale de  .
  2. Déterminer la projection orthogonale de   sur  .
  3. En déduire la distance de   à  .

Exercice 5-5

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On se place dans   muni de son produit scalaire usuel. Pour quelles valeurs de   la matrice

 

représente-t-elle (dans la base canonique de  ) une symétrie orthogonale ?

Exercice 5-6

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Diagonaliser dans une base orthonormale (pour le produit scalaire canonique de  ) la matrice  .

Interpréter géométriquement la transformation de   représentée par cette matrice.

Exercice 5-7

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Soient   un espace euclidien,   un sous-espace,   une base orthonormée de  ,   la projection orthogonale sur  ,   celle sur  ,   la symétrie orthogonale par rapport à   et   celle par rapport à  .

Montrer que  , puis exprimer de même  .

Dans   euclidien, soit   une droite vectorielle dirigée par un vecteur unitaire  . Former les matrices   et  , dans la base canonique, de la projection orthogonale   sur   et du retournement   autour de  . Justifier les égalités suivantes :  ,  ,  ,  ,  .

Exercice 5-8

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Soient   un espace euclidien de dimension   et  . Montrer que :

  1. s'il existe une symétrie orthogonale   par rapport à un hyperplan telle que   alors   ;
  2. s'il existe une projection orthogonale   sur un hyperplan telle que   alors   ;
  3. les réciproques sont vraies.