« Espace euclidien/Exercices/Adjoints et réduction spectrale » : différence entre les versions
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m →Exercice 6-5 : +1^- |
m →Exercice 6-6 : suite de la solution |
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Ligne 89 :
#*<math>N</math> est définie positive car ses valeurs propres sont strictement positives.
#Réciproquement, soit <math>N</math> symétrique positive telle que <math>M=N^2</math>. Alors il existe une matrice orthogonale <math>P</math> telle que <math>P^{-1}NP=E</math> diagonale, d'où <math>P^{-1}MP=E^2</math>. Donc <math>N</math> et <math>M</math> ont les mêmes sous-espaces propres, et les valeurs propres associées pour <math>N</math> sont les racines carrées de celles pour <math>M</math>. Ceci détermine entièrement <math>N</math>.
#Les valeurs propres de <math>M</math> sont <math>3\pm2\sqrt2</math>, avec comme vecteurs propres associés <math>(1,-1\pm\sqrt2)</math>.<br>La matrice de passage est <math>P=\begin{pmatrix}1&1\\-1+\sqrt2&-1-\sqrt2\end{pmatrix}</math> et l'on a <math>M=PDP^{-1}</math> avec <math>D=\begin{pmatrix}3+2\sqrt2&0\\0&3-2\sqrt2\end{pmatrix}</math>.
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