Espace euclidien/Exercices/Adjoints et réduction spectrale
Exercice 6-1
modifierSoit , et soit l'endomorphisme de défini par . Déterminer l'adjoint de pour les produits scalaires
- .
Il s'agit, pour chacun des deux produits scalaires, de calculer les deux polynômes
- Pour :
- .
- .
- Pour :
- .
- .
Exercice 6-2
modifierDiagonaliser dans une base orthonormée la matrice
- .
On calcule le polynôme caractéristique
- .
Les valeurs propres de sont donc , et , et les sous-espaces propres associés sont des droites. On détermine comme d'habitude des vecteurs propres, que l'on norme ; on obtient
- .
Ces vecteurs sont bien orthogonaux deux à deux, comme il se doit. On a donc bien diagonalisé dans la base orthonormée .
Même question pour la forme quadratique .
a pour matrice .
et le plan propre associé à a pour équation donc est l'orthogonal du vecteur , donc la droite propre associée à est .
On pose (de norme ) et l'on construit une base orthonormée du plan en posant par exemple , , tel que : , . La matrice est alors orthogonale et .
si donc est orthogonale pour .
Exercice 6-3
modifierOn se place dans muni du produit scalaire .
Soit l'endomorphisme de défini par
- .
- Montrer que est diagonalisable et que si et sont des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, alors .
- Diagonaliser pour .
- Il suffit de montrer que est autoadjoint. On remarque pour cela que est le polynôme dérivé de . Comme ce polynôme s’annule en , une intégration par parties donne
,
qui est bien symétrique en et . - Comme envoie un polynôme de degré sur un polynôme de degré au plus , il suffit de le diagonaliser pour .
On calcule .
Les valeurs propres de sont donc , et des vecteurs propres sont . Comme il se doit, ces vecteurs propres sont orthogonaux par rapport à (on aurait pu aussi utiliser cette propriété pour les déterminer)
Exercice 6-4
modifierOn considère la matrice
- .
- Montrer que la suite converge. Que représente sa limite ?
- Calculer .
- Soit une suite de vecteurs tels que . Converge-t-elle ? Si oui, quelle est sa limite ?
- La matrice est symétrique, donc il existe une matrice orthogonale telle que , avec diagonale. Alors , et cette suite converge si et seulement si la suite converge, autrement dit si et seulement si les valeurs propres de appartiennent à l'intervalle . De plus, la limite est alors la projection orthogonale sur l'espace propre associé à la valeur propre . Cette analyse suggère d'étudier la valeur propre . On trouve comme sous-espace propre associé la droite engendrée par . Comme on sait que est diagonalisable dans une base orthogonale, on se place dans l'orthogonal de , qui est le plan engendré par les vecteurs et . On constate alors que , ce qui donne une deuxième valeur propre égale à . Comme la trace de est égale à , la troisième valeur propre doit valoir , et la droite propre associée doit être orthogonale à v et à , donc engendrée par . Comme les trois valeurs propres sont dans l'intervalle , la suite converge bien, et sa limite est la projection orthogonale sur la droite engendrée par .
- On sait que et . On obtient la matrice de dans la base canonique en inversant la matrice de passage.
Comme , et , on a . En conséquence, . - Puisque , , qui est le projeté orthogonal de sur la droite engendrée par .
Exercice 6-5
modifierSoient et des nombres réels. Diagonaliser la matrice
- .
En déduire pour tout entier .
Le vecteur est manifestement un vecteur propre de pour la valeur propre . restreinte au plan est fois l'identité. Une base orthonormée de vecteurs propres est donc donnée par exemple par
- , , .
Si est la matrice de passage de la base canonique à la base , on a donc , avec la matrice diagonale à coefficients diagonaux . On en déduit que , ce qui donne :
et donc après calcul :
- .
(Autre méthode : écrire et remarquer que est un projecteur.)
Exercice 6-6
modifierOn se place dans . Soit une matrice symétrique définie positive.
- Montrer qu'il existe une matrice symétrique définie positive telle que .
- Montrer que est unique.
- Calculer lorsque .
- Comme est symétrique, il existe une matrice orthogonale telle que diagonale. De plus, comme est définie positive, ses valeurs propres sont strictement positives, autrement dit les coefficients diagonaux de sont strictement positifs. En les remplaçant par leurs racines, on obtient une matrice diagonale telle que . En posant alors , on a :
- ;
- donc est symétrique ;
- est définie positive car ses valeurs propres sont strictement positives.
- Réciproquement, soit symétrique positive telle que . Alors il existe une matrice orthogonale telle que diagonale, d'où . Donc et ont les mêmes sous-espaces propres, et les valeurs propres associées pour sont les racines carrées de celles pour . Ceci détermine entièrement .
- Les valeurs propres de sont , avec comme vecteurs propres associés .
La matrice de passage est et l'on a avec .
Exercice 6-7
modifierSoient et deux matrices symétriques d'ordre . On note et leurs plus petites valeurs propres, et leurs plus grandes valeurs propres. Montrer que pour toute valeur propre de la matrice , on a .
Soit un vecteur propre pour pour la valeur propre . Alors, donc il suffit de démontrer que est compris entre et (on aura bien sûr l'analogue pour ). Soient les valeurs propres de et les coordonnées de dans une base propre orthonormée associée. On a bien et (de même) minoré par .
Exercice 6-8
modifierest muni de son produit scalaire canonique : .
Soient . Soit .
Déterminer l'adjoint de .
donc .
Soient un espace euclidien de dimension , l'espace des endomorphismes de , muni du produit scalaire , et le sous-espace des endomorphismes symétriques. Pour tout , on note l'endomorphisme de défini par .
- Montrer que .
- Calculer l'adjoint de , et montrer que est orthogonal si et seulement si l'est.
- Si est symétrique, calculer le déterminant de .
- Immédiat.
- donc c'est-à-dire .
est orthogonal si et seulement si c'est-à-dire si et seulement si c'est-à-dire si et seulement si est orthogonal. - Si est symétrique, on se place dans une base orthonormée propre pour et l'on identifie les endomorphismes (symétriques) avec leur matrice (symétrique) dans cette base, en particulier on identifie à une matrice diagonale . Alors, donc les pour forment une base de propre pour , de valeurs propres associées , d'où . Vérification pour : , , (car est pair) .
Exercice 6-8
modifierSoit . Montrer qu'il existe une base orthonormée de telle que les soient orthogonaux deux à deux.
colinéaire à . Cela revient donc à chercher une b.o.n. propre pour . Une telle base existe puisque est symétrique.
Exercice 6-9
modifierSoient . On suppose symétrique définie positive et symétrique.
- Montrer qu'il existe et diagonale telles que et .
- En déduire que est diagonalisable dans , ainsi que .
- définit un produit scalaire. Soit la matrice (dans la base canonique de ) d'une base orthonormée pour ce produit scalaire : . Cherchons sous la forme . On veut donc que , et pour . Autrement dit, on cherche orthogonale telle que soit diagonale. Une telle existe puisque (comme ) est symétrique.
- On a alors donc est diagonalisable dans . Tout ce qu'on a dit sur s'applique également à (car les hypothèses sur — symétrique à valeurs propres — se transmettent à ), donc est également diagonalisable.
- Soit un endomorphisme symétrique d'un espace euclidien de dimension . Montrer que atteint ses bornes inférieure et supérieure et déterminer ces bornes en fonction du spectre de .
- Déterminer les bornes de la fonction .
- Soit une base orthonormée propre pour , de valeurs propres associées . Si a pour coordonnées dans cette base, et , . Donc les bornes de sont et (la plus petite et la plus grande valeur propre de ) et sont atteintes.
- La forme quadratique est définie positive et le produit scalaire associé est . Cherchons symétrique pour ce produit scalaire, tel que . On cherche donc tels que vérifie , d'où et , d'où . Les valeurs propres de (donc les bornes de ) sont et .
Variante matricielle (d'après le début de cet exercice) : une base orthonormée pour est . Calculons la matrice dans cette base de la forme quadratique . On a donc . Les valeurs propres de (donc les bornes de ) sont et .
Exercice 6-10
modifierSoient deux matrices symétriques réelles de valeurs propres .
- Montrer que les sont tous et même si est inversible.
- En déduire que , et même si sont inversibles.
- Soit orthogonale telle que avec , alors , et si est inversible car sinon (comme les sont tous ) la colonne de serait nulle donc ne serait pas orthogonale car pas inversible.
- Soit orthogonale telle que avec , alors avec , symétrique positive comme donc (d'après la question 1) , d'où . De plus si sont inversibles (donc aussi), les et les sont donc aussi.
Exercice 6-11
modifierSoit symétrique.
- Quelle est la forme du polynôme minimal de ?
- Si (avec choisi le plus petit possible), quelles sont les valeurs possibles pour et ?
- est scindé sur et ses racines sont simples.
- Si les valeurs propres vérifient donc . D'où trois cas : , , une symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace non trivial.
Exercice 6-12
modifierPour , on note .
- Donner une base et la dimension du sous-espace de .
- Justifier (sans calcul) le fait que pour tous , est diagonalisable puis prouver l'existence d'une matrice inversible telle que , où est diagonale : . (Il n'est pas demandé d'expliciter .)
- Déterminer les matrices de qui sont orthogonales.
- Soient et l'endomorphisme de matrice dans la base canonique de l'espace euclidien usuel . Montrer que est une isométrie vectorielle dont on précisera la nature et les éléments caractéristiques.
- est engendré par et qui sont linéairement indépendantes donc forment une base de , qui est donc de dimension 2.
- est symétrique donc il existe une matrice orthogonale telle que soit diagonale, donc telle que . , d'où l'expression de .
- (on trouve donc quatre matrices).
- est diagonalisable d'après (2) et orthogonale d'après (3) donc est la symétrie orthogonale par rapport à .
Exercice 6-13
modifierSoient un espace euclidien et tel que .
- Soit . Montrer que et en déduire que .
- Montrer que .
- En déduire que .
- d'où l'égalité en développant. Donc , donc , c'est-à-dire .
- Soit alors donc .
- , d'où l'égalité pour des raisons de dimension.