Espace euclidien/Exercices/Adjoints et réduction spectrale

Adjoints et réduction spectrale
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Exercices no6
Leçon : Espace euclidien
Chapitre du cours : Adjoint

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Projection et symétrie orthogonales
Exo suiv. :Sommaire
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Espace euclidien/Exercices/Adjoints et réduction spectrale
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Exercice 6-1

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Soit  , et soit   l'endomorphisme de   défini par  . Déterminer l'adjoint de   pour les produits scalaires

 .

Exercice 6-2

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Diagonaliser dans une base orthonormée la matrice

 .

Même question pour la forme quadratique  .

Exercice 6-3

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On se place dans   muni du produit scalaire  .

Soit   l'endomorphisme de   défini par

 .
  1. Montrer que   est diagonalisable et que si   et   sont des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, alors  .
  2. Diagonaliser   pour  .

Exercice 6-4

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On considère la matrice

 .
  1. Montrer que la suite   converge. Que représente sa limite   ?
  2. Calculer  .
  3. Soit   une suite de vecteurs tels que  . Converge-t-elle ? Si oui, quelle est sa limite ?

Exercice 6-5

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Soient   et   des nombres réels. Diagonaliser la matrice

 .

En déduire   pour tout entier  .

Exercice 6-6

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On se place dans  . Soit   une matrice symétrique définie positive.

  1. Montrer qu'il existe une matrice symétrique définie positive   telle que  .
  2. Montrer que   est unique.
  3. Calculer   lorsque  .

Exercice 6-7

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Soient   et   deux matrices symétriques d'ordre  . On note   et   leurs plus petites valeurs propres,   et   leurs plus grandes valeurs propres. Montrer que pour toute valeur propre   de la matrice  , on a  .

Exercice 6-8

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  est muni de son produit scalaire canonique :  .

Soient  . Soit  .

Déterminer l'adjoint de  .

Soient   un espace euclidien de dimension  ,   l'espace des endomorphismes de  , muni du produit scalaire  , et   le sous-espace des endomorphismes symétriques. Pour tout  , on note   l'endomorphisme de   défini par  .

  1. Montrer que  .
  2. Calculer l'adjoint de  , et montrer que   est orthogonal si et seulement si   l'est.
  3. Si   est symétrique, calculer le déterminant de  .

Exercice 6-8

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Soit  . Montrer qu'il existe une base orthonormée   de   telle que les   soient orthogonaux deux à deux.

Exercice 6-9

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Wikipédia possède un article à propos de « Orthogonalisation simultanée ».

Soient  . On suppose   symétrique définie positive et   symétrique.

  1. Montrer qu'il existe   et   diagonale telles que   et  .
  2. En déduire que   est diagonalisable dans  , ainsi que  .
  1. Soit   un endomorphisme symétrique d'un espace euclidien   de dimension  . Montrer que   atteint ses bornes inférieure et supérieure et déterminer ces bornes en fonction du spectre de  .
  2. Déterminer les bornes de la fonction  .

Exercice 6-10

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Soient   deux matrices symétriques réelles de valeurs propres  .

  1. Montrer que les   sont tous   et même   si   est inversible.
  2. En déduire que  , et même   si   sont inversibles.

Exercice 6-11

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Soit   symétrique.

  1. Quelle est la forme du polynôme minimal   de   ?
  2. Si   (avec   choisi le plus petit possible), quelles sont les valeurs possibles pour   et   ?

Exercice 6-12

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Pour  , on note  .

  1. Donner une base et la dimension du sous-espace   de  .
  2. Justifier (sans calcul) le fait que pour tous  ,   est diagonalisable puis prouver l'existence d'une matrice inversible   telle que  , où   est diagonale :  . (Il n'est pas demandé d'expliciter  .)
  3. Déterminer les matrices de   qui sont orthogonales.
  4. Soient   et   l'endomorphisme de matrice   dans la base canonique de l'espace euclidien usuel  . Montrer que   est une isométrie vectorielle dont on précisera la nature et les éléments caractéristiques.

Exercice 6-13

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Soient   un espace euclidien et   tel que  .

  1. Soit  . Montrer que   et en déduire que  .
  2. Montrer que  .
  3. En déduire que  .