*Pour tout réel <math>\lambda>0</math>, l'intégrale <math>\int_1^{+\infty}\frac{\exp(\mathrm it)}{t^{\lambda}}~\;\mathrm dt</math> converge : soit par application du théorème généralci-dessus, soit en intégrant par parties :<center><math>\int_1^{+\infty}\frac{\exp(\mathrm it)}{t^{\lambda}}\;\mathrm dt=\left[\frac{\exp(\mathrm it)}{\mathrm it^{\lambda}}\right]_1^{+\infty}+\lambda\int_1^{+\infty}\frac{\exp(\mathrm it)}{\mathrm it^{\lambda+1}}\;\mathrm dt=\mathrm i\exp(\mathrm i)-\lambda\mathrm i\int_1^{+\infty}\frac{\exp(\mathrm it)}{t^{\lambda+1}}\;\mathrm dt</math>,</center>cette dernière intégrale étant absolument convergente.
*Pour toute fonction continue <centermath>g</math> d'intégrale <math>\int_1^{+\infty}g(t)\frac;\mathrm dt</math> convergente, l'intégrale <math>\int_1^{+\expinfty}\frac{g(t)}t\;\mathrm itdt</math> converge : soit par application du théorème ci-dessus, soit en intégrant par parties, après avoir remarqué que toute primitive <math>G</math> de <math>g</math> est bornée (car continue et admettant une limite finie en <math>+\infty</math>)}{t :<center><math>\int_1^{+\lambdainfty}\frac{g(t)}~t\;\mathrm dt=\left[\frac{\expG(\mathrm itt)}{\mathrm it^{\lambda}}t\right]_1^{+\infty}+\lambda\int_1^{+\infty}\frac{\expG(\mathrm itt)}{\mathrm itt^{\lambda+12}}~\;\mathrm dt=\mathrm i\exp-G(\mathrm i1)-\lambda\mathrm i+\int_1^{+\infty}\frac{\expG(\mathrm itt)}{t^{2}\lambda+1}}~;\mathrm dt</math>,</center>cette dernière intégrale étant absolument convergente.
