« Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples » : différence entre les versions
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##<math>I=\int_{-1}^2z\left(\iint_{0\le r\le\sqrt{1+\frac{z^2}4}\atop0\le\theta\le2\pi}\operatorname e^{r^2}r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\right)\,\mathrm dz=\pi\int_{-1}^2z\left(\operatorname e^{1+\frac{z^2}4}-1\right)\,\mathrm dz=2\pi\left[\operatorname e^{1+\frac{z^2}4}-\frac{z^2}4\right]_{-1}^2=2\pi\left(\operatorname e^2-\operatorname e^{5/4}-\frac34\right)</math>.
}}
==Exercice 2-6==
Soient <math>D=\{(x,y,z)\in\R^3\mid z\ge0,\;x^2+y^2\le9,\;x^2+y^2+z^2\le25\}</math> (intersection d'une demi-boule et d'un cyclindre de même axe), <math>V</math> son volume et <math>G</math> son centre de gravité, de coordonnées <math>(x_G,y_G,z_G)</math>.
On rappelle que <math>G</math> est défini par <math>\overrightarrow{OG}=\frac1V\iiint_D\overrightarrow{OM}\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math>.
Identifier <math>D</math> géométriquement. Déterminer <math>x_G</math> et <math>y_G</math>, puis <math>V</math>, puis <math>z_G</math>.
{{Solution|contenu=
<math>D</math> est constitué de la portion de cylindre <math>0\le z\le4,\;x^2+y^2\le9</math> et de la calotte sphérique <math>z\ge4,\;x^2+y^2+z^2\le25</math>.
<math>D</math> est invariant par le demi-tour d'axe <math>Oz</math> donc <math>G</math> est situé sur cet axe : <math>x_G=y_G=0</math>.
{{en cours}}
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