« Intégrale double/Exercices/Calculs d'intégrales doubles » : différence entre les versions

#<math>\iint_{x,y\ge0\atop x^2+y^2\le1}xy\sqrt{x^2+4y^2}\;\mathrm dx\mathrm dy</math> ;

#<math>\iint_{x\ge0\atop1\le x^2+y^2\le4}xy\left(x^2+y^2\right)\;\mathrm dx\mathrm dy</math> ;

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#En passant en coordonnées polaires : <math>\iint_{x^2+y^2\le1}\left(x^2+y^2\right)\;\mathrm dx\mathrm dy=\iint_{0\le r\le1\atop0\le\theta<2\pi}r^3\;\mathrm dr\mathrm d\theta=2\pi\left[\frac{r^4}4\right]_0^1=\frac\pi2</math>.

#Le domaine d'intégration (une demi-couronne) est invariant par la symétrie <math>(x,y)\mapsto(x,-y)</math>, qui transforme l'intégrande en son opposé. Donc l'intégrale est nulle.

#<math>\iint_{\frac1\sqrt2<r<\sqrt3\atop0<\theta<\pi}r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta=\frac\pi2\left(3-\frac12\right)=\frac{5\pi}4</math>. On pouvait prévoir ce résultat à partir de la formule pour l'aire d'un disque : l'aire de cette demi-couronne est <math>\frac12\left(\pi\sqrt3^2-\pi\left(\frac1\sqrt2\right)^2\right)</math>.

}}