Intégrale double/Exercices/Calculs d'intégrales doubles

Calculs d'intégrales doubles
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Exercices no1
Leçon : Intégrale double

Exercices de niveau 15.

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Intégrale double/Exercices/Calculs d'intégrales doubles
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Exercice 1-1Modifier

Calculer

  1.   ;
  2.   ;
  3.   ;
  4.   ;
  5.  .

Exercice 1-2Modifier

Calculer :

  1. si   est le triangle   :
    1.  ,
    2.  ,
    3.   ;
  2.    est le domaine défini par   ;
  3.    ;
  4.    est le triangle   ;
  5.    ;
  6.    ;
  7.    ;
  8.    ;
  9.   .

Exercice 1-3Modifier

On considère le domaine plan

 

et la surface

 .
  1. Dessiner   et calculer son aire et son périmètre.
  2. Déterminer le centre d'inertie (ou centre de gravité)   de  , défini par
     .
  3. Calculer  . Quelle en est l'interprétation en termes de volume ?
  4. Déterminer l'aire de  .

Pour  , déterminer le centre de gravité   du trapèze   de sommets  ,  ,   et  .

  1. Pour tout domaine   et toute application affine inversible  , montrer que le centre de gravité de   est  , où   désigne le centre de gravité de  .
  2. En déduire que si   est symétrique par rapport à un point   alors  .

Exercice 1-4Modifier

  1. Dessiner le domaine
     .
  2. Calculer  
    a) par calcul direct ;
    b) en passant en coordonnées polaires.

Exercice 1-5Modifier

Soient :

  •   le triangle de sommets  ,   et   ;
  •   ;
  •  .
  1. Expliquer pourquoi   est un triangle et préciser ses sommets.
  2. En utilisant un changement de variables, justifier l'égalité
     
    (sans calculer les intégrales en question).

Exercice 1-6Modifier

Soit  . Représenter graphiquement   et calculer  .

Soit  . Calculer  .

Exercice 1-7Modifier

Calculer :

  1.   ;
  2.   ;
  3.   ;
  4.   et   ;
  5.   ;
  6.   ;
  7.   ;
  8.   ;
  9.   ;
  10.   et   ;
  11.   ;
  12.   et  .

Exercice 1-8Modifier

Représenter graphiquement l'ensemble   puis calculer

 ,   et  .

Exercice 1-9Modifier

Calculer les intégrales suivantes.

  1.   ;
  2.   ;
  3.    est la partie du plan limitée par les paraboles d'équations respectives   et   ;
  4.   ;
  5.   ;
  6.  .

Exercice 1-10Modifier

Calculer  

Exercice 1-11Modifier

Soient   et  . Calculer l'aire de  .

Soient   et  . Calculer l'aire de  .

Soient   et  . Calculer  . On pourra effectuer le changement de variables  ,  .

Exercice 1-12Modifier

Pour tout  , soient   et  .

  1. Montrer que
     .
  2. En déduire l'existence et la valeur de
     .

Recalculer cette intégrale de Gauss   en appliquant le théorème de Tonelli à l'application   sur  .

Exercice 1-13Modifier

On considère le domaine borné   délimité par les trois droites d'équations  ,   et  . Calculer   :

  1. par calcul direct ;
  2. en effectuant le changement de variables  .

Exercice 1-14Modifier

Soient  . On considère le domaine   (on connaît son aire :  ). Calculer :

  1.   ;
  2. les coordonnées du centre de gravité de  .

Exercice 1-15Modifier

L'objet de cet exercice est de calculer l'intégrale  , dont on sait qu'elle est semi-convergente (Intégration de Riemann/Exercices/Intégrales impropres#Exercice 5-3).

Soit  .

  1. Montrer que pour tout  ,   (on rappelle que   : Intégrale de Gauss). En déduire que   n'est pas intégrable sur  .
    1. Montrer que pour tout  ,   est intégrable sur   et en déduire que    est une fonction que l'on déterminera sous forme intégrale.
    2. Montrer par une intégration simple que  
    1. Montrer que   a une limite quand   tend vers   et calculer cette limite.
    2. En admettant que   (Intégration de Riemann/Exercices/Intégrales impropres#Exercice 5-5), montrer que  .

Exercice 1-16Modifier

Soient   une fonction mesurable sur   et localement intégrable. On suppose que   existe et l'on pose

 

Soit   ; démontrer que   existe et exprimer sa valeur en fonction de  .