« Intégrale double/Exercices/Calculs d'intégrales doubles » : différence entre les versions
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→Exercice 1-3 : idem |
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Ligne 61 :
:<math>S=\{\left(x,y,z\right)\in\R^3\mid\left(x,y\right)\in D,\;z=x+y\}</math>.
#Dessiner <math>D</math> et calculer son aire et son périmètre.
#Déterminer le centre d'inertie (ou centre de gravité) <math>G</math> de <math>D</math>, défini par
#:<math>\left(\iint_D1\,\mathrm dx\,\mathrm dy\right)\overrightarrow{OG}=\iint_D\overrightarrow{OM}\,\mathrm dx\,\mathrm dy
</math>.
Ligne 75 :
#:<math>\mathcal A(S)=\iint_D\|u\land v\|\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\sqrt3\,\mathcal A(D)=3\sqrt2</math>.
}}
#Pour tout domaine <math>D\subset\R^2</math> et toute [[Géométrie affine/Applications affines|application affine]] inversible <math>\varphi:\R^2\to\R^2</math>, montrer que le centre de gravité de <math>\varphi(D)</math> est <math>\varphi(G)</math>, où <math>G</math> désigne le centre de gravité de <math>D</math>.
#En déduire que si <math>D</math> est symétrique par rapport à un point <math>O</math> alors <math>G=O</math>.
{{Solution|contenu=
#Soit <math>\Delta</math> le déterminant de <math>\vec\varphi</math>. Notons <math>O'=\varphi(O)</math> et <math>G'=\varphi(G)</math>. Alors,<br><math>\iint_{M'=(u,v)\in\varphi(D)}\overrightarrow{O'M'}\,\mathrm du\,\mathrm dv=\iint_{M=(x,y)\in D}\vec\varphi(\overrightarrow{OM})|\Delta|\,\mathrm dx\,\mathrm dy=|\Delta|\vec\varphi\left(\iint_D\overrightarrow{OM}\,\mathrm dx\,\mathrm dy\right)=|\Delta|\vec\varphi\left(\left(\iint_D1\,\mathrm dx\,\mathrm dy\right)\overrightarrow{OG}\right)=\left(\iint_D|\Delta|\,\mathrm dx\,\mathrm dy\right)\vec\varphi\left(\overrightarrow{OG}\right)=\left(\iint_{\varphi(D)}1\,\mathrm du\,\mathrm dv\right)\overrightarrow{O'G'}</math>,<br>donc le centre de gravité de <math>\varphi(D)</math> est <math>G'</math>.
#En particulier, si <math>\varphi(D)=D</math> alors <math>\varphi(G)=G</math>. Or si <math>\varphi</math> est la symétrie par rapport à <math>O</math>, son seul point fixe est <math>O</math>.
}}
==Exercice 1-4==
#Dessiner le domaine
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