« Intégrale double/Exercices/Calculs d'intégrales doubles » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
→Exercice 1-13 : +1 |
→Exercice 1-11 : +1question(+rép) |
||
Ligne 222 :
<math>\iint_D(y^2-x^2)^{xy}\;(x^2+y^2)\mathrm dx\mathrm dy=\iint_{a<u<b,\;0<v<1} v^u\;\frac{\mathrm du\mathrm dv}2=\frac12\int_a^b\left[\frac{v^{u+1}}{u+1}\right]_0^1\;\mathrm du=\frac12\int_a^b\frac1{u+1}\;\mathrm du=\frac12\ln\frac{b+1}{a+1}</math>.
}}
Soient <math>a,b>1</math>. Calculer l'aire de <math>D=\left\{(x,y)\in\R^2~\left|~\frac xa\le y\le ax,\;\frac1{bx}\le y\le\frac bx\right.\right\}</math>.
{{Solution|contenu=
Le jacobien de <math>(x,y)\mapsto(u,v):=(y/x,xy)</math> est égal à <math>-2y/x=-2u</math>, donc
<math>\iint_D\mathrm dx\mathrm dy=\iint_{[1/a,a]\times[1/b,b]}\frac{\mathrm du\mathrm dv}{2u}=\frac12\left(b-\frac1b\right)\ln\left(\frac a{1/a}\right)=\left(b-\frac1b\right)\ln a</math>.
}}
| |||