« Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples » : différence entre les versions
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Ligne 126 :
#<math>D=\{(x,y)\in\R^2\mid a^2\le x^2+y^2\le1,\;y\ge0\}</math> (demi-couronne) et <math>f(x,y)=\frac y\sqrt{x^2+y^2}</math>.
#<math>\iiint_{a\le r\le1,\;0\le\theta\le\pi\atop0\le z\le\sin\theta}r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz=\frac{1-a^2}2\int_0^\pi\sin\theta\,\mathrm d\theta=1-a^2</math>. (C'est plus simple que d'utiliser la question 1.)
}}
==Exercice 2-8==
#Tracer l'ensemble <math>C=\{(x,y,z)\in\R^3\mid z+1=\sqrt{x^2+y^2}\}</math>. Déterminer l'intersection de <math>C</math> avec la sphère <math>S=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x^2+y^2+z^2=1\}</math>.
#Tracer le solide <math>K=\{(x,y,z)\in\R^3\mid\sqrt{x^2+y^2}-1\le z\le\sqrt{1-x^2-y^2}\}</math>.
#Calculer le volume de <math>K</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>C</math> est un demi-[[w:Cône de révolution|cône de révolution]] de sommet <math>\Omega=(0,0,-1)</math>. Puisque <math>(z+1)^2=1-z^2\Leftrightarrow z(z+1)=0</math>, <math>C\cap S=\{\Omega\}\cup\Gamma</math>, où <math>\Gamma</math> est le cercle unité du plan <math>xOy</math>.
#<math>K</math> est l'intersection des deux solides (demi-cône plein et boule) délimités par <math>C</math> et <math>S</math>. Il a grossièrement la forme d'un cornet de glace à une boule.
#Notons <math>K_+</math> et <math>K_-</math> les parties respectivement sphérique et conique de <math>K</math>. Le volume de la demi-boule <math>K_+</math> est <math>\frac{2\pi}3</math> et celui de la portion conique <math>K_-</math> est <math>\int_0^1\pi t^2\,\mathrm dt=\frac\pi3</math> donc le volume de <math>K</math> est <math>\pi</math>.
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