« Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Nombres premiers et fonctions arithmétiques » : différence entre les versions
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Ligne 256 :
#:<math>\begin{aligned}0&=\delta_1\left(p^{k+1}\right)=(\mu g*g)\left(p^{k+1}\right)\\&=
\sum_{d\mid p^{k+1}}\mu(d)g(d)g(p^{k+1}/d)=\sum_{i=0}^{k+1}\mu(p^i)g(p^i)g(p^{k+1-i})\\&=g(1)g(p^{k+1})-g(p)g(p^k)=g(p^{k+1})-g(p)g(p^k).\end{aligned}</math>
}}
==Exercice 1-17==
Soit <math>(u_n)</math> la suite d'entiers définie par :
:<math>u_0=1,\quad u_1=2\quad\text{et}\quad\forall n\ge2\quad u_n=4u_{n-1}-u_n</math>.
Montrer que le seul carré parfait de cette suite est <math>u_0=1</math>.
{{Solution|contenu=
Modulo <math>5</math>, <math>u_j\equiv1,2,2,1,2,\dots</math> et <math>2</math> n'est pas un carré. Donc si <math>u_n</math> est un carré alors <math>n</math> est un multiple de <math>3</math>, soit : <math>n=3k</math>.
<math>\forall j\in\N\quad u_j=\frac{r^j+r^{-j}}2</math> avec <math>r=2+\sqrt3</math> (cf. [[Approfondissement sur les suites numériques/Récurrence affine d'ordre 2#Cas linéaire]]) donc
<math>u_n=u_{3k}=\frac{r^{3k}+r^{-3k}}2=\frac{(r^k+r^{-k})^3-3(r^k+r^{-k})}2=u_k(4u_k^2-3)</math>.
Or <math>u_k</math> n'est pas divisible par <math>3</math> car modulo <math>3</math>, <math>u_j\equiv1,-1,1,-1,\dots</math>. On en déduit que <math>u_k</math> et <math>4u_k^2-3</math> sont premiers entre eux. Si leur produit <math>u_{3k}</math> est un carré alors tous deux sont des carrés.
On a donc prouvé que si <math>u_n</math> est un carré alors <math>3\mid n</math> et <math>u_{n/3}</math> est un carré. Par descente infinie, cela démontre que le seul carré de la suite est bien <math>u_0</math>.
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