Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Nombres premiers et fonctions arithmétiques

Nombres premiers et fonctions arithmétiques
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Exercices no1
Leçon : Introduction à la théorie des nombres
Chapitre du cours : Nombres premiers et fonctions arithmétiques

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Approximation diophantienne et fractions continues
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Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Nombres premiers et fonctions arithmétiques
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Exercice 1-1

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On se place dans un anneau commutatif intègre quelconque, et l'on ne spécifie donc les pgcd et ppcm qu'à association près ( ). Démontrer que si   :

  1. si   existe alors   existe et   ;
  2.   existe si et seulement si   existe, et dans ce cas :   ;
  3. si   existe alors   aussi (pour info : la réciproque est fausse : cf. Anneau à PGCD) et   ;
  4. si tous les PGCD de paires existent alors tous les PPCM aussi.

Exercice 1-2

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Soient   premiers entre eux. Démontrer que l'application   se restreint en une bijection de l'ensemble des couples   tels que   et   dans l'ensemble des diviseurs de  , en explicitant la bijection réciproque. (Cette propriété a servi, dans le cours, à démontrer que si   et   sont multiplicatives alors   l'est aussi.)

Exercice 1-3

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Soient   un nombre premier et   un entier non divisible par  . On note   la classe modulo   de tout entier  .

  1. Montrer que l'application   est bijective et envoie   sur lui-même.
  2. En déduire que  .
  3. En déduire le petit théorème de Fermat.
  4. Soient  . Montrer que si  , alors  .
  5. Soient   et   deux nombres premiers distincts. Montrer que  .
  6. Montrer que pour tous entiers   et  ,   est divisible par le produit de tous les nombres premiers   tels que  . Donner la valeur de ce produit pour  ,   et  .
  7. Montrer que pour tous entiers   et  ,   est divisible par 56 786 730.

Exercice 1-4

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  1. Démontrer qu'il n'existe aucun polynôme   non constant à coefficients entiers dont toutes les valeurs à partir d'un certain rang soient des nombres premiers. Indication : en supposant qu'il existe un tel  , montrer qu'il existerait un   et que tous les   seraient alors divisibles par  .
  2. Démontrer que plus généralement, si    est un polynôme en   variables à coefficients entiers, et si  , alors   est un nombre composé pour une infinité de valeurs de  . Indication : en supposant que c'est faux, montrer qu'il existerait un nombre premier   puis, en utilisant le petit théorème de Fermat, que tous les   seraient alors divisibles par  .

Exercice 1-5

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Démontrer que l'ensemble des fonctions arithmétiques, muni de l'addition et de la convolution de Dirichlet, forme un anneau commutatif intègre.

Exercice 1-6

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Soit  .

  1. Soit   un diviseur de  . On note   et  .
    Montrer que pour tout  ,  , et en déduire que les éléments d'ordre   du groupe   sont les générateurs du sous-groupe  .
  2. En déduire que  .
  3. Retrouver ce résultat par calcul direct, en considérant d'abord le cas où   est une puissance d'un nombre premier, puis en utilisant que   et   sont multiplicatives, après l'avoir justifié.

Exercice 1-7

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On note couramment   la suite des nombres premiers, rangés par ordre strictement croissant.

On va en donner deux majorations faciles (plus grossières même que celle du « petit théorème des nombres premiers »).

  1. En examinant l'argument d'Euclide (qui montre que la suite   est infinie), montrer (par récurrence) que  .
  2. Fixons   et posons  .
    • En examinant les décompositions possibles en facteurs premiers pour tous les entiers de   à  , démontrer que  .
    • En déduire que si   alors   (on pourra admettre que  ).
    • En déduire :  .

Exercice 1-8

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Wikipédia possède un article à propos de « Écart entre nombres premiers ».

On veut démontrer que la suite   n'est pas majorée.

  1. Soit  . Montrer que tous les entiers de   à   sont composés.
  2. En déduire qu'il existe   tel que  .
  3. Conclure.

Exercice 1-9

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Démontrer que les formulations (1), (2) et (3) suivantes du théorème des nombres premiers sont équivalentes :

 .

(  est un intermédiaire technique ; la motivation est  .)

Indication pour   : montrer que chacun des énoncés   et   implique  .

Exercice 1-10

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Démontrer :

  1.   pour tout   de partie réelle   ;
  2.   pour tout complexe   et tout   de partie réelle  .
    Rappel :   est la fonction « somme des puissances  -ièmes des diviseurs » :  .

Exercice 1-11

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Wikipédia possède un article à propos de « Fonction totient de Jordan ».

Pour tout entier  , on définit la fonction   par :

  est le nombre de  -uplets   tels que  .
  1. Reconnaître  .
  2. En partitionnant   selon les valeurs que prend, sur cet ensemble, l'application  , démontrer que (pour tout  )
     .
  3. En déduire que   et que   est multiplicative.
  4. En déduire que  .
  5.   est-elle complètement multiplicative ?
  6. Calculer  , sachant que   (cours) et que   (exercice précédent).

Exercice 1-12

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Wikipédia possède un article à propos de « Fonction de von Mangoldt ».

La fonction de von Mangoldt   est définie sur   par

 
  1. Montrer que pour tout entier  ,  .
  2. En déduire que  .

Exercice 1-13

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(Exercice iii de Baker p. 17.)

On définit   par :

 .
  1. Montrer que   n'est pas multiplicative.
  2. Montrer que  .
  3. En déuire que  .

Exercice 1-14

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  1. Transcrire la formule d'inversion de Möbius dans le cas où les fonctions   et  , au lieu d'être à valeurs dans  , sont à valeurs dans un groupe abélien noté multiplicativement,  .
  2. Pour  , on définit le  -ième polynôme cyclotomique   comme le polynôme unitaire dont les racines sont simples et sont les racines primitives  -ièmes de   dans   (les éléments du groupe   dont l'ordre est exactement  ) :
     .
    Vérifier que  .
  3. En déduire que tous les polynômes cyclotomiques sont à coefficients entiers.
  4. Déduire des questions 1 et 2 un moyen de calculer  . Indication : prendre pour   le groupe des fractions rationnelles non nulles à coefficients rationnels.
  5. En considérant les degrés des polynômes en jeu dans les questions 2 et 4, retrouver deux formules connues.

Exercice 1-15

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Soit  . On note   le  -ième polynôme cyclotomique (cf. exercice précédent).

  1. Montrer qu'il existe un multiple   de   tel que  .
  2. Soit alors   un diviseur premier de  . Montrer que   puis, en notant   l'ordre de   dans  , montrer que :
    • si  , alors  .
    • si   est un diviseur strict de  , alors  .
  3. En déduire (par un raisonnement analogue à celui d'Euclide dans le cas  ) le cas particulier suivant du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet :
    il existe une infinité de nombres premiers congrus à  .

Exercice 1-16

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Soit   une fonction complètement multiplicative.

  1. Démontrer que pour toutes fonctions arithmétiques   et  ,
     .
  2. En déduire que  , pour une certaine fonction   à préciser.
  3. En déduire également que l'inverse de   pour la convolution de Dirichlet est  , où   désigne la fonction de Möbius.
  4. Démontrer que réciproquement, si une fonction multiplicative   a pour inverse de   pour la convolution de Dirichlet, alors   est complètement multiplicative (indication : évaluer   sur les puissances de nombres premiers, en utilisant l'expression explicite de   sur ces mêmes nombres).

Exercice 1-17

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Soit   la suite d'entiers définie par :

 .

Montrer que le seul carré parfait de cette suite est  .

Exercice 1-18

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Pour tout  , on note   le nombre de solutions de l’équation   dans  .

  1. Montrer que si   et   sont premiers entre eux,  .
  2. Soient   un nombre premier impair et  . Montrer que  .
  3. Soit  . Calculer  .