« Recherche:L'énigme de Fermat passée au crible » : différence entre les versions

En faisant preuve du simple bon sens, dans une perception fine des choses, une approche objective dénuée de tout préjugé, à mesure qu’on progresse dans la recherche nos découvertes nous apportent un lot de satisfactions inestimable, c'est un merveilleux cadeau qu'on se fait à soi-même. Vers 1646 Roberval, évoquant Fermat, écrivait à Torricelli : ''« Cet homme remarquable, le premier d’entre nous, m’envoya deux propositions très subtiles, sans les accompagner de leurs démonstrations. Et alors que je lui demandais les démonstrations de ces propositions ardues, il me répondit, par lettre, en ces termes :'' <span style="color:blue">''« J'ai dû travailler pour les découvrir. Travaillez vous aussi ; vous prendrez ainsi conscience que c’est dans ce travail que consiste la majeure partie du plaisir.'' »</span> Qui a l'''esprit de discernement'' sait faire preuve de confiance, d'humilité et d'audace, '''d'analyse rigoureuse et d'imagination créatrice,''' toutes aptitudes nécessaires pour résoudre les plus difficiles énigmes. Je crois que la résolution des grandes énigmes, soit que la notion d’infini représente une pièce essentielle du mystère, soit qu'elle en soit absente, est presque toujours possible, ou au moins largement abordable. Mais dans ce cas-ci j'avais beau chercher, presque toujours avec le même enthousiasme, je ne trouvais d'abord que quelques indices de-ci de-là. Il est vrai qu'en les assemblant ils me confortaient beaucoup dans mon intuition initiale, et même s'ils n'aboutissaient à rien de concret ils constituaient déjà, après à un survol objectif du contexte général plusieurs fois réitéré (où j'incluais les mots de Fermat mais aussi ceux de tous ses détracteurs), un bon début d'analyse. Il me fallut attendre une douzaine d'années avant de recevoir un message privé ''via'' Wikipédia d'un mathématicien amateur (Monsieur Roland Franquart) qui allait complètement débloquer la situation. Nous nous sommes téléphoné et je crois que nous avons conversé plus d'une heure. Par la suite nous avons beaucoup échangé et travaillé sur un blog dédié où une doctorante était aussi intervenue. Puis j'ai continué à tenter de rendre l'article de Wikipédia sur le théorème un peu plus fiable sans parvenir à grand-chose, une vive opposition m'en empêchant. Heureusement quandQuand je retournai en 2013 sur Wikipédia après une longue absence je fus tout de suite encouragé par [[w:Catherine_Goldstein|Catherine Goldstein]], mais je quittai malgré tout pourtant Wikipédia pour me consacrer pleinemententièrement à mes recherches. Je ne me doutais pas alors qu'en étudiant l'esprit libéré j'allais beaucoup progresser au fil des trouvailles de plus en plus étonnantes qu'après Roland Franquart j'allais faire à mon tour. Je dois à la justice de dire que sans ses propres découvertes je n'aurais rien trouvé de neuf, toute cette recherche n'aurait pu se faire. À tout seigneur tout honneur.

Vers 2006, après avoir consulté la fiche Wikipédia concernant ce théorème jej'avais remarquaisremarqué que de tous les arguments avancés par les contempteurs de Fermat, absolument aucun ne tenait la route. Nombreux sont les scientifiques contemporains, toutes disciplines confondues, qui raisonnent avec une forme de pensée magique et font preuve de condescendance quand ce n'est pas un mépris ouvert envers les Anciens. Cette condescendance fait partie des mœurs courantes des mathématiciens accomplis. Dieu sait si je suis averti pour dire combien il peut y avoir de personnes bardées de diplômes comme autant de certitudes, de ces personnes que la reconnaissance académique conforte dans leurs béates certitudes. La question à se poser en voyant la façon étonnante dont a été rédigé l'article en question était « Pourquoi ? ». C'était la première pierre à soulever impérativement pour ne pas être contaminé par le pessimisme ambiant et pour partir du bon pied. Il peut paraître étonnant que les professeurs qui ont écrit ce texte n’en aient pas perçu tout le ridicule, non seulement en contribuant à propager la rumeur mais en la portant à son maximum désirable. Tel semble être le destin de ces sites où les experts, quand ils ne se font pas exclure, s’en vont un jour d’eux-mêmes, las d’avoir eu à batailler contre des « encyclopédistes ».

Cette conformité jalouse et exacerbée avec la pensée unique étant évidente j'ai voulu d'abord répertorier tous les mauvais arguments (et leurs conséquences néfastes), qu'au cours des siècles les contempteurs de Fermat avaient pu imaginer. Ensuite puisqu'il avait lancé son défi, il me fallait tout faire, puisqu'ayant assez vite perçu ses manières j'admirais l'homme, pour relever son défi. Non pas le défi mathématique en lui-même puisque je ne suis pas mathématicien, mais le défi de percer tous les secrets que dans ses divers écrits relatifs au théorème et à la fameuse fausse conjecture il aurait pu dissimuler. La difficulté étant qu'il n'en disait jamais plus que nécessaire, les meilleurs signaux qu'il envoyait étant les plus difficiles d'accès. Ainsi est née cette recherche, laborieusement d'abord. Tenter de résoudre de la façon la plus exhaustive possible cette formidable énigme, qui exige une analyse poussée de la psychologie de Fermat, de ses nombreux écrits, qui demande aussi une conscience aigüe de sa sagacité, a suscité enthousiasme et excitation dans une recherche passionnante. Si j'avais été mathématicien jamais je n'aurais pensé à chercher avec autant de foi et de persévérance tous ces arguments pour réhabiliter Pierre de Fermat et son dernier défi, j'eus été empêché, par des préjugés et une manière confortisteconformiste de raisonner, de sortir des sentiers battus et rebattus pendant ces siècles qui avaient abouti à une incroyable imposture scientifique.

Les techniques sophistiquées qu'utilise le mathématicien contemporain exigent un long apprentissage, beaucoup de travail, elleset occupent tout son temps. Ses contraintes professionnelles ne lui permettent plus d'en consacrer à une question qui lui semble de si peu d'intérêt. Pour détricoter une pareille énigme c'est le pédagogue singulier, le combattant isolé, qu'il fallut convoquer. Son arme de prédilection est le défi. Mais pour que les mathématiciens qui le suivront ne soient quand même pas trop furieux, il ne doit pas les défier trop ouvertement, il trouve alors une nouvelle arme, la facétie à retardement, dont il use à profusion. Prendre acte de ce constat était capital. Pour avoir une chance de relever ce défi, il fallut aller directement à la source, trouver puis exploiter la traduction la plus exacte, la plus fidèle possible de l'''OBSERVATIO II''. Ensuite en espérant qu'il n'en était pas resté là, il fallut continuer de chercher avec une obstination sans faille toutes les autres pistes qu'il aurait pu laisser. Ce fut long, semé d'embûches et, souvent grisant.

Commentaire que nous livrede [https://www.echosciences-sud.fr/articles/le-mysterieux-monsieur-fermat-saison-1-5-5 Madame Claire-Adélaïde Montiel] : « Cet éloge se termine par la mention suivante : “'''OB.XII.IAN.M.D.C.LXV. AET.AN LVII'''” qu’on peut traduire ainsi : ''“ Il mourut le 12 janvier 1665 âgé de 57 ans ou bien : dans la cinquante-septième année de son âge”, ce qui le ferait naître entre janvier 1607 et janvier 1609. »''

Les Anciens étaient parvenus à extraire d’une gangue arithmétique informe les concepts principaux sans disposer de tout le symbolisme algébrique aujourd'hui disponible. [[w:Pierre_de_Fermat|Pierre de Fermat]], comme ses contemporains mais à un degré plus élevé, a maîtrisé l’art de contourner les difficultés auxquelles se heurteront ceux qui viendront après lui, au point de pouvoir se passer de nombreux outils mathématiques qui seront découverts bien plus tard. Nous trouvons maintenant évidents des concepts primordiaux que ces Anciens ont découverts. Jusqu’au siècle dernier, et même encore parfois de nos jours, ce caractère d’évidence a engendré chez quelques savants, quand ils ont eu à ferrailler avec Pierre de Fermat, leur maître pourtant, une coupable arrogance. Les mathématiques, surtout celles de Fermat, sont aussi de la philosophie. Cette recherche fait appel à de nombreuses disciplines, mathématiques, histoire des math, philosophie (dont la logique philosophique), psychologie, sociologie, linguistique, pédagogie, didactique. La question considérée aide d'ailleurs à comprendre notre époque.

L’histoire du ‘’Dernier‘’ théorème de Fermat commence aux alentours de l’année 1638. Fermat est alors âgé d’une trentaine d’années. On peut mieux comprendre son inextinguible soif de connaissances en considérant qu'il vit à une époque où, sans rien renier des connaissances des Anciens mais au contraire en les admirant, on s'attache à leur étude pour mieux aller de l'avant. On y est polymathe, toutTout est digne d'intérêt et on est polymathe. Fermat est de ces hommes, humaniste, lettré, philologue, il connaît le latin, le grec et l'italien, fait des vers français, latins, espagnols. Natif de Beaumont-de-Lomagne dans le Tarn-et-Garonne, il s'installe d'abord à Bordeaux, puis à Toulouse, faisant carrière dans la magistrature où il s'acquitte de sa tâche d'une manière exemplaire. Lorsqu'il découvre l'arithmétique des Anciens, il y voit une telle intelligence, une telle stimulation pour l'esprit, que se contenter d'une activité rémunérée ayant surtout l'avantage d'assurer sa subsistance n'est même pas une question à se poser. Il voit dans l'étude des nombres la voie royale pour contempler les mystères de la Nature. Son enthousiasme débordant a trouvé le moyen de s'exprimer, sa voie est toute tracée. Grâce à lui, la connaissance pourra s'accroître et se propager. La science des nombres n'est pas sa seule passion, le latin, langue des savants et des lettrés, n'a aucun secret pour lui. ''« Il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines : c’est sur ce terreau que put s’épanouir son prodigieux génie des mathématiques. »'' Il est très croyant, comme en témoigne [[s:Page:Œuvres_de_Fermat,_Tannery,_tome_1,_1891.djvu/439|son poème latin]] ‘’''Soumets-toi à Dieu ou l'agonie du Christ‘’'' dédié à Jean-Louis GUEZ de BALZAC. Au début du poème, la raison est engagée à renoncer aux vaines divinités des fables, et à se soumettre à Dieu. Fermat est discret dans la vie, et bien que ce fût un génie, ''« le plus grand homme du monde'' ''»'' selon Blaise Pascal, on sait peu de choses sur sa vie. On ne connaît que quelques très rares démonstrations qu'il voulut bien livrer, une des plus remarquables étant celle où il démontre que le nombre 26 est le seul de tous les nombres à être compris entre un carré et un cube : 25 (5x5), et 27 (3x3x3).

Si aller à l'encontre de tous les jugements négatifs qui ont été portés à son encontre n'est pas aisé, deux choses pourtant aident à garder intacts l'enthousiasme et la confiance.

Alors qu'il a affirmé dans sa correspondance posséder la preuve du cas particulier n=4 de son grand théorème, il ne nous dit pas explicitement, dans le Diophante, quelle est cette preuve. Néanmoins ilIl nous livre explicitement sa démonstration du “[[w:Théorème_de_Fermat_sur_les triangles rectangles|Théorème de Fermat sur les triangles rectangles]]” sans du tout nous préciser qu'elle a un rapport quelconque avec le cas n=4. Or la preuve de ce cas est immédiatement déductible du théorème, et c'est la seule démonstration qu’il révèle – dans ses 48 ''observations'' en tout cas. À première vue c'est incompréhensible tant il est vrai que, sans faire preuve de fausse modestie, il n'a jamais hésité à mettre en avant ses capacités pour mieux faire progresser la science. Pour quelle raison alors reste -t-il si discret avec ce cas particulier n=4 de son grand théorème, si ce n’est pour indiquer qu'il a placé là une première balise, et qu'il nous faudra nous attacher à en chercher d'autres, mieux cachées. Ainsi il ne faudra pas prendre à la légère : a) son défi plusieurs fois réitéré sur le cas particulier n=3, jusqu'à son affirmation, finalement, qu'il a fait la preuve de l'impossibilité de ce cas ; b) son affirmation d'avoir <span style="color:blue">''assurément dévoilé l'explication étonnante (ou admirable)''</span> de son théorème général. Cela nous semble être le tout premier des arguments en faveur d’une maîtrise complète, par Fermat, de la situation : il sait de quoi il parle et nous le fait savoir. On est assuré par ailleurs qu'il possède effectivement la preuve du cas n=3, mais là encore, alors qu'il n'a cessé dans parler dans ses lettres, il passe complètement sous silence ce dernier cas dans son Diophante, il s'arrange là encore pour n'en révéler que le strict minimum. Il est vrai que s'il avait renoncé à ce principe, quide estne sarévéler marqueque dele fabriquestrict minimum, les mathématiciens n'auraient eu aucun effort à fournir.

Sûrement avait-il aussi une revanche à prendre sur la communauté des mathématiciens (« Ah ! ils n'ont pas voulu me prendre au sérieux ? C'estEh bien dommage pour eux !, ce n'est plus à ces esprits négligents, ou méprisants, que je pensepenserai dorénavant. »). S'est-il dit aussi : «  Nous allons bien nous amuser. » ? Certains de ses correspondants en effet, à qui il avait soumis des problèmes qu'ils avaient été incapables de résoudre, avaient méprisé ses travaux, les jugeant totalement inutiles (ils se révélèrent pourtant d'une importance considérable). Il en fut certainement contrit et vexé au point de vouloir les punir de leur négligence. La nature de son caractère dut aussi y être pour quelque chose, on le savait très humble, mais il était parfaitement conscient de sa force, et la fausse humilité était étrangère à ce Gascon. Une démonstration complète d'un cas particulier (''n=3)'' de son grand théorème ne sera trouvée que deux siècles plus tard par [[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]], un autre immense mathématicien. Gauss qui écrivait en 1801 à propos du petit théorème de Fermat : ''« Ce théorème remarquable, tant par son élégance que par sa grande utilité, s'appelle ordinairement'' théorème de Fermat'', du nom de l'inventeur. »'' Cet intérêt de Gauss pour le travail de Fermat fut d'ailleurs, mais en partie seulement, à l'origine de sa future carrière de mathématicien. Par ailleurs, en citant E.T. Bell, ''« Gauss discréditait les assertions sans fondement. »'' Un ami de Gauss lui avait demandé pourquoi il ne concourait pas pour le prix offert en 1816 par l’[[w:Académie_des_sciences|Académie française des sciences]] qui récompenserait le découvreur d'une preuve (ou d'une invalidation) du Dernier Théorème. ''« J’avoue, répondit-il, que le Théorème de Fermat est une proposition isolée qui a très peu d’intérêt pour moi, puisque je pourrais facilement trouver une multitude de propositions du même genre, que personne ne pourrait jamais ni valider ni invalider [...]. Bien qu’il ne l’ait jamais dit explicitement, Gauss semblait douter que Fermat avait prouvé son théorème. »''

* D'autre part, certains des écrits les plus importants de Fermat sont rédigés en latin, la langue de l'ellipse par excellence. Fermat étant un expert en latin, il nous a fallu débusquer le plus possible de ses non-dits – écrits, mais subtilement cachés – auxquels l'obligeaient : a) le souci de discrétion dans une époque troublée (alors qu'il est magistrat) ; b) le manque de temps ; c) le principe même du défi, qui s'accordait avec les deux points précédents ; enfin, d) son goût pour la pédagogie, qui s'accorde à son tour avec les points précédents. Quatre raisons donc d'en dire le moins possible.