« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

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== Exercice 1-1 ==
Trouver tous les polynômes <math>P\in\Complex[X]</math> tels que <math>P(X^2)=P(X)P(X+1)</math>.
 
}}
 
== Exercice 1-2 ==
Déterminer les polynômes <math>P\in\Complex[X]</math> tels que <math>XP(X+1)=(X+4)P(X)</math>.
{{Solution|contenu=
Puisque <math>X</math> est premier avec <math>X+4</math>, un polynôme <math>P</math> est solution si et seulement si <math>P=XQ</math> pour un <math>Q\in\Complex[X]</math> tel que <math>X(X+1)Q(X+1)=(X+4)XQ(X)</math>, [[wikt:c'est.-à-dired.|c.-à-d.]] <math>(X+1)Q(X+1)=(X+4)Q(X)</math>.
 
De même, <math>Q</math> est solution de l'équation précédente si et seulement si <math>Q=(X+1)R</math> pour un <math>R\in\Complex[X]</math> tel que <math>(X+1)(X+2)R(X+1)=(X+4)(X+1)R(X)</math>, c'est.-à-dired. <math>(X+2)R(X+1)=(X+4)R(X)</math>.
 
Et ainsi de suite. Finalement, <math>P</math> est solution si et seulement si <math>P=X(X+1)(X+2)(X+3)T</math> pour un <math>T\in\Complex[X]</math> tel que <math>T(X+1)=T(X)</math>.
:<math>P_n(\mathrm j)=\left(-\mathrm j^2\right)^{6n+1}-\mathrm j^{6n+1}-1=-\mathrm j^2-\mathrm j-1=0</math>.
:<math>P'_n(\mathrm j)=(6n+1)\left(\left(-\mathrm j^2\right)^{6n}-\mathrm j^{6n}\right)=(6n+1)(1-1)=0</math>.
}}
 
== Exercice 1-7 ==
Démontrer que pour tout <math>n\in\N^*</math>,
:<math>\prod_{k=1}^{2n}\cos\frac{k\pi}{2n+1}=\frac1{(-4)^n}</math>.
Indication : on fera intervenir un polynôme de degré <math>4n</math> ayant pour racines les nombres complexes <math>\operatorname e^{\pm\mathrm i\frac{k\pi}{2n+1}}</math> pour <math>1\le k\le2n</math>, et l'on en déduira (à l'aide des [[Sommation/Exercices/Formule du binôme#Exercice 5-11|polynômes de Tchebychev]]) un polynôme <math>P</math> de degré <math>2n</math> ayant pour racines les <math>\cos\frac{k\pi}{2n+1}</math>. Une relation entre coefficients et racines de <math>P</math> permettra de conclure.
{{Solution|contenu=
Les <math>\operatorname e^{\pm\mathrm i\frac{k\pi}{2n+1}}</math> pour <math>1\le k\le2n</math> sont racines de <math>\frac{X^{2(2n+1)}-1}{X^2-1}=X^{4n}+X^{4n-2}+\dots+X^2+1=X^{2n}\left(X^{2n}+\frac1{X^{2n}}+X^{2n-2}+\frac1{X^{2n-2}}+\dots+X^2+\frac1{X^2}+1\right)</math>.
 
Autrement dit, pour <math>\theta=\frac{k\pi}{2n+1}</math> (<math>1\le k\le2n</math>) : <math>0=2\cos(2n\theta)+2\cos((2n-2)\theta)+\dots+2\cos(2\theta)+1=P(\cos\theta)</math>, où <math>P=2T_{2n}+2T_{2n-2}+\dots+2T_2+1</math>.
 
Le <math>m</math>-ième polynôme de Tchebychev <math>T_m</math> est de degré <math>m</math>, de coefficient dominant <math>2^{m-1}</math> et de terme constant <math>(-1)^{m/2}</math> si <math>m</math> est pair. <math>P</math> est donc de degré <math>2n</math>, de coefficient dominant <math>p_{2n}=2\times2^{2n-1}=4^n</math> et de terme constant <math>p_0=2(-1)^n+2(-1)^{n-1}+\dots+2(-1)+1=(-1)^n</math>. Le produit <math>\prod_{k=1}^{2n}\cos\frac{k\pi}{2n+1}</math> de ses racines est bien égal à <math>(-1)^{2n}\frac{p_0}{p_{2n}}=\frac1{(-4)^n}</math>.
}}
 
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