« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
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Ligne 133 :
#<math>P(X)=X</math>, <math>P(X)=X^n-1</math>, ou des produits de tels polynômes.
#Si <math>P(X)\mid P(X^2)</math> alors pour toute racine <math>\alpha</math> de <math>P</math>, <math>\alpha^2</math> est aussi racine de <math>P</math> et ainsi, <math>\alpha^{2^k}</math> est racine de <math>P</math> pour tout <math>k\in\N</math>. Comme <math>P</math> n'a qu'un nombre fini de racines, cela implique qu'il existe deux entiers <math>i>j\ge0</math> tels que <math>\alpha^{2^i}=\alpha^{2^j}</math>, d'où <math>\alpha=0</math> ou <math>\alpha^{2^i-2^j}=1</math>.
}}
==Exercice 1-11==
Calculer <math>P_n(X):=(1+X)(1+X^2)(1+X^4)\dots(1+X^{2^n})</math>.
{{Solution|contenu=
<math>P_0(X)=1+X</math> et <math>P_{n+1}(X)=P_n(X)(1+X^{2^{n+1}})</math> donc par récurrence, <math>P_n(X)=1+X+X^2+X^3+\dots+X^{2^{n+1}-1}=\frac{X^{2^{n+1}}-1}{X-1}</math> (l'une ou l'autre de ces deux formes pouvant être utilisée pour la récurrence).
Autre méthode : <math>\deg(P_n)=1+2+2^2+\dots+2^n=2^{n+1}-1</math> et les <math>2^{n+1}-1</math> racines de <math>P_n</math> sont les complexes <math>z</math> tels que <math>z^{2^k}=-1</math> pour un certain <math>k\in\{0,1,\dots,n\}</math>. Cela équivaut à <math>\exists k\in\{0,1,\dots,n\}\quad z^{2^{k+1}}=1</math> et <math>z^{2^k}\ne1</math>, donc à <math>z\ne1</math> et <math>\exists j\in\{0,1,\dots,n\}\quad z^{2^{j+1}}=1</math>. Le polynôme unitaire dont les racines sont simples et sont les racines <math>2^{n+1}</math>-ièmes de l'unité sauf 1 est <math>\frac{X^{2^{n+1}}-1}{X-1}</math>.
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