« Application linéaire/Exercices/Application directe » : différence entre les versions
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##<math>X^2=2P_2+P_1=\varphi(P)</math> avec <math>P:=2P_3+P_2=\frac{X(X-1)(2X-1)}6</math> donc <math>1^2+2^2+\dots+\ell^2=P(\ell+1)=\frac{\ell(\ell+1)(2\ell+1)}6</math>.}}
==[[Similitude|Isométries]]
Soit <math>f:\C\to\C,\;z\mapsto\operatorname e^{\mathrm i\theta}\bar z</math>. On considère <math>\C</math> comme un <math>\R</math>-espace vectoriel et l'on fixe la base <math>\varepsilon=(1,\mathrm i)</math>.
#Montrer que <math>f</math> est <math>\R</math>-linéaire.
#Calculer <math>A:=\mathrm{Mat}(f,\varepsilon,\varepsilon)</math>.
#Existe-t-il <math>
#Décrire géométriquement <math>f</math>.
#Soit <math>g:\C\to\C,\;z\mapsto\operatorname e^{\mathrm i\rho}\bar z</math>. Calculer <math>\mathrm{Mat}(g\circ f,\varepsilon,\varepsilon)</math> et décrire géométriquement <math>g\circ f</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>f</math> est composée des applications <math>s:z\mapsto\bar z</math> (<math>\R</math>-linéaire) et <math>r:w\mapsto\operatorname e^{\mathrm i\theta}w</math> (<math>\C</math>- donc <math>\R</math>-linéaire) : <math>f=r\circ s</math>. Donc <math>f</math> est <math>\R</math>-linéaire.
#<math>s(x+\mathrm iy)=x-\mathrm iy</math> donc <math>S=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}</math>, <math>r(x+\mathrm iy)=(x\cos\theta-y\sin\theta)+\mathrm i(x\sin\theta+y\cos\theta)</math> donc <math>R=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}</math> et <math>A=RS=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\\sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}</math>.
#<math>f(x+\mathrm iy)=x+\mathrm iy\Leftrightarrow\begin{cases}x(\cos\theta-1)+y\sin\theta=0\\x\sin\theta-y(\cos\theta+1)=0\end{cases}</math>. Or <math>\cos\theta-1=-2\sin^2\frac\theta2</math>, <math>\cos\theta+1=2\cos^2\frac\theta2</math> et <math>\sin\theta=2\cos\frac\theta2\sin\frac\theta2</math>.<br>Le système précédent se réécrit donc <math>\begin{cases}2\sin\frac\theta2\left(-\sin\frac\theta2x+\cos\frac\theta2y\right)=0\\2\cos\frac\theta2\left(\sin\frac\theta2x-\cos\frac\theta2y\right)=0.\end{cases}</math><br>Une solution est donc <math>u=\cos\frac\theta2+\mathrm i\sin\frac\theta2</math>.<br>De même, <math>f(x+\mathrm iy)=-(x+\mathrm iy)\Leftrightarrow\begin{cases}x(\cos\theta+1)+y\sin\theta=0\\x\sin\theta+y(-\cos\theta+1)=0\end{cases}\Leftrightarrow x\cos\frac\theta2+y\sin\frac\theta2=0</math><br>Une solution est donc <math>v=-\sin\frac\theta2+\mathrm i\cos\frac\theta2</math>.<br>Ou globalement : <math>\operatorname e^{\mathrm i\theta}\bar u=u\Leftrightarrow\operatorname e^{\mathrm i\theta/2}\bar u=\operatorname e^{-\mathrm i\theta/2}u\Leftrightarrow\operatorname e^{-\mathrm i\theta/2}u\in\R\Leftrightarrow u\in\R\operatorname e^{\mathrm i\theta/2}</math><br>et de même, <math>\operatorname e^{\mathrm i\theta}\bar v=-v\Leftrightarrow\operatorname e^{\mathrm i\theta/2}\bar v=-\operatorname e^{-\mathrm i\theta/2}v\Leftrightarrow\operatorname e^{-\mathrm i\theta/2}v\in\mathrm i\R\Leftrightarrow v\in\R\mathrm i\operatorname e^{\mathrm i\theta/2}</math>.
#<math>(u,v)</math> est une base de <math>\C</math>, car <math>\R</math>-libre (en fait, <math>v=\mathrm iu</math>) et <math>f</math> est la symétrie par rapport à <math>\R u</math>, parallèlement à <math>\R v</math> ([[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] la symétrie orthogonale par rapport à <math>\R u</math>).
#<math>\mathrm{Mat}(g\circ f,\varepsilon,\varepsilon)=\begin{pmatrix}\cos\rho&\sin\rho\\\sin\rho&-\cos\rho\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\\sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}</math> avec <math>t=\rho-\theta</math>, donc <math>g\circ f</math> est la rotation d'angle <math>\rho-\theta</math>.<br>On pouvait d'ailleurs le trouver directement : <math>g(f(z))=g(\operatorname e^{\mathrm i\theta}\bar z)=\operatorname e^{\mathrm i\rho}\overline{\operatorname e^{\mathrm i\theta}\bar z}=\operatorname e^{\mathrm i(\rho-\theta)}z</math>.
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