« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

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:<math>P_n(\mathrm j)=\left(-\mathrm j^2\right)^{6n+1}-\mathrm j^{6n+1}-1=-\mathrm j^2-\mathrm j-1=0</math>.
:<math>P'_n(\mathrm j)=(6n+1)\left(\left(-\mathrm j^2\right)^{6n}-\mathrm j^{6n}\right)=(6n+1)(1-1)=0</math>.
}}
#Pour quelles valeurs de l'entier <math>n</math> le polynôme <math>X^3+1</math> divise-t-il le polynôme <math>X^{3n}+1</math> ?
#Montrer que <math>(X-1)^{n+2}+X^{2n+1}</math> est divisible par <math>X^2-X+1</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>X^3+1</math> a 3 racines simples : <math>-1</math>, <math>-\mathrm j</math> et <math>-\bar{\mathrm j}</math>. Il divise donc <math>X^{3n}+1</math> si et seulement si <math>(-1)^{3n}+1=0</math> et <math>(-\mathrm j)^{3n}+1=0</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] si <math>n</math> est impair.
#<math>X^2-X+1=\frac{X^3+1}{X+1}</math> a 2 racines simples : <math>-\mathrm j</math> et <math>-\bar{\mathrm j}</math>, et <math>(-\mathrm j-1)^{n+2}+(-\mathrm j)^{2n+1}=(\mathrm j^2)^{n+2}-\mathrm j^{2n+1}=\mathrm j^{2n+1}\left(\mathrm j^3-1\right)=0</math>.
}}
 
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